与えられた多項式を展開してしまえば解けるのですが，計算がかなり大変ですので，ここでは展開せずに解く方法を考えましょう．
与えられた多項式は対称式であり，展開したときの各項の次数がすべて $5$ となる斉次多項式です．これらの特徴をうまく利用してみましょう．
与えられた多項式を因数分解することを考えます．
与えられた多項式を $x$ についての多項式と考え，$x=-y$ を代入すると，式の値は $0$ になります．よって，因数定理より，$(x+y)$ を因数にもちます．同様にして，$(y+z)，(z+x)$ も因数にもちます．よって， $$(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5=(x+y)(y+z)(z+x)\ f(x,y,z)$$ とかけます．ここで，$f(x,y,z)$ は多項式です．
左辺は対称式であり，さらに展開したときの各項の次数はすべて $5$ です．
また， $(x+y)(y+z)(z+x)$ も対称式で，展開したときの各項の次数はすべて $3$ なので，$f(x,y,z)$ は対称式で，各項の次数はすべて $2$ となります．したがって，定数 $a,b$ を用いて， $$f(x,y,z)=a(x^2+y^2+z^2)+b(xy+yz+zx)$$ とかけます．
つまり，恒等式 $$(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5=(x+y)(y+z)(z+x)\{ a(x^2+y^2+z^2)+b(xy+yz+zx)\}$$ が成り立ちます．
$(x,y,z)=(1,1,0)$ を代入すると，$2(2a+b)=30$ すなわち， $$2a+b=15$$ $(x,y,z)=(1,1,1)$ を代入すると，$8(3a+3b)=240$ すなわち， $$a+b=10$$ この連立方程式を解くと， $$a=b=5$$ となります．したがって， $$(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5=5(x+y)(y+z)(z+x)\{ (x^2+y^2+z^2)+(xy+yz+zx)\}$$ と因数分解できるので，元の式はつねに $5$ の倍数です．
合同式を用いると，より簡単に解くことができます．
まず， $(x+y)^5$ を考えると，二項定理より， $$(x+y)^5=\sum_{k=0}^5 {}_5 \mathrm{C} _k x^ky^{5-k}$$ $$=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5 \equiv x^5+y^5 (mod 5)$$
よって，この結果を繰り返し用いると， $$(x+y+z)^5=\{x+(y+z)\}^5\equiv x^5+(y+z)^5 \equiv x^5+y^5+z^5 (mod 5)$$ したがって，$(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5$ は $5$ の倍数です．
より一般に，$p$ を素数とするとき， $$(x_1+x_2+\cdots+ x_n)^p \equiv x_1^p+x_2^p+\cdots+x_n^p (mod p)$$ が成り立ちます．
