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問題の説明

たて,よこ,ななめの数の合計がすべて同じ数になるような $3\times3$ の魔法陣に関する問題です.単純に,数を入れて魔法陣を完成させる問題ではなくて,与えられた $3\times3$ の表が魔法陣となるための必要十分条件を求める問題です.

すでに $4$ つのマスには,$a,b,c,1$ という $4$ つの数が与えられています.

解説

まず,与えられた $3\times3$ の表が魔法陣であると仮定します.
ひとつのマスに $x$ という数を入れて,表のマスすべてを完成させます.
真ん中列の一番下の数を $x$ とする.すると,真ん中列の和は,$a+x+1$ .したがって,これをもとにすべてのマスを埋めていくと次のようになる.(マスの埋め方は複数通りあるので必ず下のようになるとは限りません)
魔法陣の図
ここで,すべての列の和を調べると以下の $4$ 通りになります. $$S=a+x+1  ・・・①$$ $$S=3  ・・・②$$ $$S=a+b-2c+3  ・・・③$$ $$S=a-b+2c+2x-1  ・・・④$$ これらの和が一致するためには,$a+b-2c=0$ であることが必要です.逆に,$a+b-2c=0$ なら,たて,よこ,ななめの数の合計はすべて等しくなります.

以上より,求めるべき必要十分条件は,$\color{red}{a+b-2c=0}$ となります.