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図を描いてみよう

問題の図は右の図のようになります.ここで,$BC$と$AO$の交点を$Y$,$BP$と$AO$の交点を$S$,$BP$と$AT$の交点を$X$としました.示すべきは,$AT$が線分$BP$を二等分することです.

考え方

幾何の問題を解くときは解き方の方針を決定するのが最初の課題です.座標を用いて解くのか,ベクトルを使って解くのか,長さや角度を設定して三角関数などを駆使して解くのか,それとも初等幾何学で解くのかなど,様々なアプローチの仕方があります.時にはこれらのいくつかを組み合わせて解くと鮮やかに解ける場合などもあるので,問題ごとに考えなければなりません.さらに,これらのアプローチは問題ごとに向き不向きがあるので,どの解き方が解きやすそうかを常に意識しなければなりません.

さて,今回の問題に関して言えば,おそらく初等幾何学的なアプローチが最も向いていると思われます.なぜなら,示すべきことは$BX=XP$です.これは言い換えれば$BX:XP=1:1$です.つまり,問われているのは特定の線分の長さではなく,線分と線分の比です.したがって,比さえ求めればよいのですから,特定の線分の長さを設定して解こうとする必要はないのです.これは逆に言えば,特定の線分の長さを設定して解こうとすると式が複雑になるかもしれないリスクがあるということです.なのでおそらく,座標や三角関数を用いる方法で解くのは困難です.

ヒント

この記事では,初等幾何学の知識のみを用いて解く方法を紹介しています. 示すべきは$BX=XP$ですが,長さを設定せずに解くためにはまず,この結論を少し変形して示しやすい形にする必要があります.$BY=YC$に気づけば,$\color{red}{XY || PC}$ (←$XY$が$PC$と平行)を示せばよいことがわかります.

さらにヒント

いきなり,$XY || PC$を示すのは難しいですから,この図形に関して何か他の情報を手に入れることを考えます.さて,$2$番目のヒントは,$\color{red}{AB || ST}$であるということです.これを示してみます.$△BOS$に注目すると,$OH \perp BS$,$BY \perp OS$なので,$T$は$△BOS$の垂心です.したがって,$ST \perp BO$です.また,$AB \perp BO$でしたので,$AB || ST$がわかります.

解説

$AB || ST$より,$△ABX ∽ △TSX$です.したがって, $$ST:BA=TX:AX$$ です.また,$△ACY ∽ △STY$でもあるので, $$ST:AC=TY:CY$$ となります.この$2$式より, $$TX:XA=TY:YC$$ が得られます.ゆえに,$XY || PC$となって,$BY=YC$より,$BX=XP$です.