あまり見慣れないような整数の問題ですが，比較的やさしめの問題です．特別な知識は何もいりません
合成数とは$1$と自分自身以外に少なくとも$1$つ以上の約数をもつ整数のことです．奇数の合成数は小さい方から順に，$9,15,21,25,27…$と続いていきます．
確かめてみる
さて，実際に$40$以上の偶数が，$2$つの奇数の合成数の和で表せることを確かめてみましょう． $$40=15+25, 42=27+15, 44=9+35,$$ $$46=21+25, 48=33+15, 50=15+35,…$$ というように，確かに表せていることがわかります．また，この表示は一意的なものではありません．例えば，$42$については，$42=9+33$という別の表示も存在します．ですが，あえて上の式では$42=27+15$を採用しました．さて，上の式を見て何か気づくことはないでしょうか．あることに気づけばこの問題は一気に解決に近づきます．
解決の糸口
上で確かめたように，この問題は個々の偶数一つ一つに対してなら，それが$2$つの奇数の合成数の和で表せることを示すのは容易です．しかし，問題は$40$以上の偶数すベてに対して示さなければなりません．どうすればよいでしょうか．
ここでは，分類するという考え方を用います．
すなわち$40$以上の偶数を下一桁によって$5$つに分類します．そしてそれぞれについて示します．
解説
下の式をご覧ください． $$40=15+\color{red}{25}, 42=27+\color{red}{15}, 44=9+\color{red}{35},$$ $$46=21+\color{red}{25}, 48=33+\color{red}{15}, 50=15+\color{red}{35},…$$ すべての右辺に下一桁が$5$の合成数があることがわかります．一般の偶数についても，(奇数の合成数)+(下一桁が$5$の合成数)と表示できるか考えてみましょう． 下一桁が$5$の合成数は一般に,$1$より大きい奇数$n$を用いて，$5n$と書けます．
Case$1$:下一桁が$0$の偶数
$40$以上の下一桁が$0$の偶数は$5$以上の奇数$n$を用いて $$15+5n$$ と表せます．
Case$2$:下一桁が$2$の偶数
$40$以上の下一桁が$2$の偶数は$5$以上の奇数$n$を用いて $$27+5n$$ と表せます．
Case$3$:下一桁が$4$の偶数
$40$以上の下一桁が$4$の偶数は$7$以上の奇数$n$を用いて $$9+5n$$ と表せます．
Case$4$:下一桁が$6$の偶数
$40$以上の下一桁が$6$の偶数は$5$以上の奇数$n$を用いて $$21+5n$$ と表せます．
Case$5$:下一桁が$8$の偶数
$40$以上の下一桁が$8$の偶数は$3$以上の奇数$n$を用いて $$33+5n$$ と表せます．
これらより，すべての$40$以上の偶数は$2$つの奇数の合成数の和で表せることが示せました．
$38$は$2$つの奇数の合成数の和で表すことはできません．
