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問題の観察

あまり見慣れないような整数の問題ですが,比較的やさしめの問題です.特別な知識は何もいりません
合成数とは$1$と自分自身以外に少なくとも$1$つ以上の約数をもつ整数のことです.奇数の合成数は小さい方から順に,$9,15,21,25,27...$と続いていきます.

確かめてみる

さて,実際に$40$以上の偶数が,$2$つの奇数の合成数の和で表せることを確かめてみましょう. $$40=15+25, 42=27+15, 44=9+35,$$ $$46=21+25, 48=33+15, 50=15+35,...$$ というように,確かに表せていることがわかります.また,この表示は一意的なものではありません.例えば,$42$については,$42=9+33$という別の表示も存在します.ですが,あえて上の式では$42=27+15$を採用しました.さて,上の式を見て何か気づくことはないでしょうか.あることに気づけばこの問題は一気に解決に近づきます.

解決の糸口

上で確かめたように,この問題は個々の偶数一つ一つに対してなら,それが$2$つの奇数の合成数の和で表せることを示すのは容易です.しかし,問題は$40$以上の偶数すベてに対して示さなければなりません.どうすればよいでしょうか.

ここでは,分類するという考え方を用います.

すなわち$40$以上の偶数を下一桁によって$5$つに分類します.そしてそれぞれについて示します.

解説

下の式をご覧ください. $$40=15+\color{red}{25}, 42=27+\color{red}{15}, 44=9+\color{red}{35},$$ $$46=21+\color{red}{25}, 48=33+\color{red}{15}, 50=15+\color{red}{35},...$$ すべての右辺に下一桁が$5$の合成数があることがわかります.一般の偶数についても,(奇数の合成数)+(下一桁が$5$の合成数)と表示できるか考えてみましょう.
下一桁が$5$の合成数は一般に,$1$より大きい奇数$n$を用いて,$5n$と書けます.

Case$1$:下一桁が$0$の偶数 
 $40$以上の下一桁が$0$の偶数は$5$以上の奇数$n$を用いて $$15+5n$$ と表せます.
Case$2$:下一桁が$2$の偶数 
 $40$以上の下一桁が$2$の偶数は$5$以上の奇数$n$を用いて $$27+5n$$ と表せます.
Case$3$:下一桁が$4$の偶数 
 $40$以上の下一桁が$4$の偶数は$7$以上の奇数$n$を用いて $$9+5n$$ と表せます.
Case$4$:下一桁が$6$の偶数 
 $40$以上の下一桁が$6$の偶数は$5$以上の奇数$n$を用いて $$21+5n$$ と表せます.
Case$5$:下一桁が$8$の偶数 
 $40$以上の下一桁が$8$の偶数は$3$以上の奇数$n$を用いて $$33+5n$$ と表せます.
これらより,すべての$40$以上の偶数は$2$つの奇数の合成数の和で表せることが示せました.


$38$は$2$つの奇数の合成数の和で表すことはできません.