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中点と,三角形の重心の座標の求め方を解説します.この記事の主目的は,三角形の重心の座標の公式を理解することです.



⇨予備知識


中点の座標の求め方

前記事 →内分点と外分点の求め方 で,線分を内分する点の座標の求め方を解説しました.
線分を $1:1$ に内分する点をその線分の中点といいます.中点の座標は次の公式を用いて計算することができます.

中点の座標: $2$ 点 $A (x_1,y_1)$,$B (x_2,y_2)$ の中点の座標は, $$\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$$

つまり,中点の $x$ 座標は,$2$ 点の $x$ 座標を足して $2$ で割った値となり,中点の $y$ 座標は,$2$ 点の $y$ 座標を足して $2$ で割った値となります.

・$2$ 点 $(1,4)$ と $(3,6)$ の中点の座標は,$\left(\frac{1+3}{2},\frac{4+6}{2}\right)=\left(2,5\right)$
・$2$ 点 $(-1,5)$ と $(2,-4)$ の中点の座標は,$\left(\frac{(-1)+2}{2},\frac{5+(-4)}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$
・点 $(1,3)$ に関して,点 $(2,5)$ と対称な点 $(x,y)$ の座標は,$\frac{2+x}{2}=1,\frac{5+y}{2}=3$ を解いて,$(0,1)$
($(2,5)$ と $(x,y)$ の中点が $(1,3)$ です.)

三角形の重心とは

そもそも三角形の重心とは何であったかを簡単に復習しておきましょう.

三角形の頂点と,その向かい合う辺の中点を結んだ線分を中線と呼びます.三角形の $3$ つの中線はただひとつの点で交わり (これはチェバの定理の逆を用いて示せます),その点を三角形の重心と呼びます.さらにこのとき,重心は中線を必ず $2:1$ に内分します.(これはメネラウスの定理を用いて示せます)

三角形の重心の座標の求め方

前節の事実を踏まえて,三角形の重心の座標の公式を導いてみましょう.

三角形の重心の座標: $3$ 点 $A (x_1,y_1)$,$B (x_2,y_2)$ $C (x_3,y_3)$ を頂点とする三角形の重心 $G$ の座標は, $$\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$$

証明: 辺 $BC$ の中点 $D$ の座標は,$\left(\frac{x_2+x_3}{2},\frac{y_2+y_3}{2}\right)$ である.重心 $G$ は 線分 $AD$ を $2:1$ に内分する点であったので,その座標は, $$\left(\frac{x_1+2\left(\frac{x_2+x_3}{2}\right)}{3},\frac{y_1+2\left(\frac{y_2+y_3}{2}\right)}{3}\right)=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$$ である.

・$3$ 点 $(1,2),(2,3),(3,-2)$ を頂点とする三角形の重心の座標は,$\left(\frac{1+2+3}{3},\frac{2+3+(-2)}{3}\right)=(2,1)$
・$2$ 点 $(2,-3),(1,2)$ を頂点とする三角形の重心の座標が $(3,0)$ のとき,残りの頂点の座標 $(x,y)$ は,$\frac{2+1+x}{3}=3,\frac{-3+2+y}{3}=0$ を解いて,$(6,1)$

練習問題

 $△ABC$ の重心を $G$ とするとき, $$AG^2+BG^2+CG^2=\frac{1}{3}(AB^2+BC^2+CA^2)$$ が成り立つことを示せ.

→solution

直線 $BC$ を $x$ 軸にとり,$A(a,b),B(-c,0),C(c,0)$ とすると,$G(\frac{a}{3},\frac{b}{3})$ である.したがって, $$(\text{左辺})=\left(\frac{2a}{3}\right)^2+\left(\frac{2b}{3}\right)^2+\left(\frac{a}{3}+c\right)^2+\left(\frac{b}{3}\right)^2+\left(\frac{a}{3}-c\right)^2+\left(\frac{b}{3}\right)^2=\frac{2}{3}a^2+\frac{2}{3}b^2+2c^2$$ 一方, $$(\text{右辺})=\frac{1}{3}\{(a+c)^2+b^2+(2c)^2+(a-c)^2+b^2\}=\frac{2}{3}a^2+\frac{2}{3}b^2+2c^2$$ よって,(左辺)=(右辺) となる.