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2点を内分する点,外分する点の座標の求め方を解説します.




内分点・外分点

直線上や,平面上,空間上で相異なる $2$ 点が与えられた時,それらを内分する点や外分する点を考えることができます.
たとえば,線分ABを $2:1$ に内分する点とは,線分 $AB$ 上で,$A$ からの距離と $B$ からの距離の比が $2:1$ であるような点のことを指します.
$2$ 点の座標が与えられた時,その $2$ 点を内分する点,外分する点の座標の求め方を考えてみましょう.

数直線上の内分点・外分点

まずは,数直線上に相異なる $2$ 点 $A(a),B(b)$ がある場合を考えましょう.この場合,$A,B$ の並び方は下図のように左から $A,B$ と並ぶ場合と,左から $B,A$ と並ぶ場合の $2$ 通りあります.
数直線上の2点
いずれの場合についても次が成り立ちます.

線分の内分点,外分点: 数直線上の $2$ 点 $A(a),B(b)$ について,線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点を $P$,$m:n$ に外分する点を $Q$ とすると, $$\large 点Pの座標は \frac{na+mb}{m+n}, 点Qの座標は \frac{-na+mb}{m-n}$$


上の $2$ つの公式が成り立つことをそれぞれ実際に確かめてみましょう.

内分点について

$A,B$ を $m:n$ に内分する点 $P(x)$ の座標を求めましょう.
数直線上の内分点
$x$ を $a,b,m,n$ を用いて表すのが目標です.線分 $PA$ の長さは $|x-a|$,線分 $PB$ の長さは$|b-x|$ です.$P$ は線分 $AB$ を内分する点なので, $$PA:PB=m:n$$ が成り立ちます.したがって, $$|x-a|:|b-x|=m:n$$ です.これより, $$m|b-x|=n|x-a|$$ となります.ところで,上図の $2$ 通りのどちらの場合についても,$|x-a|$ と $|b-x|$ は同符号です.したがって,上式の絶対値記号をそのまま外すことができて, $$m(b-x)=n(x-a)$$ が成り立ちます.これを整理すると, $$x=\frac{na+mb}{m+n}$$ となって,実際に公式が成り立つのがわかります.
特に,$m=n=1$ の場合は,点 $P$ は線分 $AB$ の中点で,その座標は $\frac{a+b}{2}$ です.

外分点について

まず,$m>n>0$ とします.
$A,B$ を $m:n$ に外分する点 $Q(x)$ の座標を求めましょう.
数直線上の外分点
$x$ を $a,b,m,n$ を用いて表すのが目標です.線分 $QA$ の長さは $|x-a|$,線分 $QB$ の長さは$|b-x|$ です.$P$ は線分 $AB$ を外分する点なので, $$QA:QB=m:n$$ が成り立ちます.したがって, $$|x-a|:|b-x|=m:n$$ です.これより, $$m|b-x|=n|x-a|$$ となります.ところで,上図の $2$ 通りのどちらの場合についても,$|x-a|$ と $|b-x|$ は異符号です.したがって,上式の絶対値記号は,一方にマイナス符号をつけて外すことができて, $$m(b-x)=-n(x-a)$$ が成り立ちます.これを整理すると, $$x=\frac{-na+mb}{m-n}$$ となって,実際に公式が成り立つのがわかります.
$0< m< n$ のときも同様にして示すことができます.

座標平面上の内分点・外分点

座標平面上の相異なる $2$ 点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ について,次が成り立ちます.

平面上の内分点,外分点の座標: $2$ 点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ について,線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点を $P$,$m:n$ に外分する点を $Q$ とすると, $$\large 点Pの座標は \left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)$$ $$\large 点Qの座標は \left(\frac{-nx_1+mx_2}{m-n},\frac{-ny_1+my_2}{m-n}\right)$$

$x$ 座標,$y$ 座標のそれぞれが,数直線上での公式と同じ形になっています.上の公式は次のように確認できます.
たとえば内分点については,下図のように,$A,B$ が配置してあるとき,$A,B,P$ から $x$ 軸に垂線 $AA',BB',PP'$ をひくと,$P'$ は線分 $A'B'$ を $m:n$ に内分します.
座標平面上での内分点
したがって,前節での考察によって, $$x=\frac{nx_1+mx_2}{m+n}$$ が成り立ちます.$y$ 座標についても同様です.$AB$ が $y$ 軸や $x$ 軸に垂直なときも公式が成り立つことは容易に確認できます.