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⇨予備知識


パップスの六角形定理とは

パップスの六角形定理とは,射影幾何学における基本的で重要な定理です.

パップスの六角形定理: 同一平面上にある $2$ 直線 $l_1,l_2$ 上の $3$ 点をそれぞれ $A,B,C;A',B',C'$ とする.直線 $AB'$ と $A'B$,$BC'$ と $B'C$,$CA'$ と $C'A$ の交点がすべて存在するとき,それらをそれぞれ $P,Q,R$ とすると,$P,Q,R$ は同一直線上にある.

パップスの六角形定理

上の図では,$A,B,C$,$A',B',C'$ の順に並んでいますが,パップスの六角形定理は,直線上の点がどのように並んでいても成り立ちます.

定理の証明

パップスの六角形定理はメネラウスの定理と相似を駆使して証明することができます.

証明: (i) $2$ 直線 $AB'$ と $BC'$ が平行でないとき
直線 $AB'$ と $BC'$ の交点を $D$,直線 $A'C$ と $2$ つの直線 $AB',BC'$ との交点をそれぞれ $E,F$ とする.三角形 $DEF$ に対してメネラウスの定理を用いる.
パップスの六角形定理
まず,$3$ 点 $A',P,B$ を通る直線において,メネラウスの定理より, $$\color{red}{\frac{PE}{DP}}\cdot\frac{A'F}{EA'}\cdot\frac{BD}{FB}=1$$ したがって, $$\color{red}{\frac{PE}{DP}}=\frac{EA'}{A'F}\cdot\frac{FB}{BD} \cdots (1)$$ $3$ 点 $A,R,C'$ を通る直線において,メネラウスの定理より, $$\color{blue}{\frac{RF}{ER}}\cdot\frac{C'D}{FC'}\cdot\frac{AE}{DA}=1$$ したがって, $$\color{blue}{\frac{RF}{ER}}=\frac{FC'}{C'D}\cdot\frac{DA}{AE} \cdots (2)$$ $3$ 点 $C,Q,B'$ を通る直線において,メネラウスの定理より, $$\color{green}{\frac{QD}{FQ}}\cdot\frac{B'E}{DB'}\cdot\frac{CF}{EC}=1$$ したがって, $$\color{green}{\frac{QD}{FQ}}=\frac{DB'}{B'E}\cdot\frac{EC}{CF} \cdots (3)$$ $(1),(2),(3)$ 式をすべてかけると, $$\color{red}{\frac{PE}{DP}}\cdot\color{blue}{\frac{RF}{ER}}\cdot \color{green}{\frac{QD}{FQ}}=\frac{EA'}{A'F}\cdot\frac{FB}{BD}\cdot \frac{FC'}{C'D}\cdot\frac{DA}{AE} \cdot \frac{DB'}{B'E}\cdot\frac{EC}{CF} \cdots (4)$$ を得る.一方で, $3$ 点 $A,B,C$ を通る直線において,メネラウスの定理より, $$\frac{AD}{EA}\cdot\frac{BF}{DB}\cdot\frac{CE}{FC}=1 \cdots (5)$$ $3$ 点 $A',B',C'$ を通る直線において,メネラウスの定理より, $$\frac{A'F}{EA'}\cdot\frac{C'D}{FC'}\cdot\frac{B'E}{DB'}=1$$ すなわち, $$\frac{EA'}{A'F}\cdot\frac{FC'}{C'D}\cdot\frac{DB'}{B'E}=1 \cdots (6)$$ $(5),(6)$ 式をかけると, $$\frac{AD}{EA}\cdot\frac{BF}{DB}\cdot\frac{CE}{FC}\cdot \frac{EA'}{A'F}\cdot\frac{FC'}{C'D}\cdot\frac{DB'}{B'E}=1 \cdots (7)$$ $(4)$ 式の右辺と $(7)$ 式の左辺は一致するので, $$\color{red}{\frac{PE}{DP}}\cdot\color{blue}{\frac{RF}{ER}}\cdot \color{green}{\frac{QD}{FQ}}=1$$ を得る.よって,メネラウスの定理の逆より,$3$ 点 $P,Q,R$ は同一直線上にある.

(ii) $2$ 直線 $AB'$ と $BC'$ が平行であるとき
まず, $$\frac{\color{red}{EP}}{\color{blue}{ER}}\cdot \frac{\color{green}{FR}}{\color{orange}{FQ}}=1$$ を示す.これが示せれば,$AB'$ と $BC'$ が平行であるから,$\triangle REP \sim \triangle RFQ$ となり,$3$ 点 $P,Q,R$ が同一直線上にあることになる.
$\triangle A'PE \sim \triangle A'BF$ より, $$\frac{\color{red}{EP}}{EA'}\cdot \frac{FA'}{FB}=1$$ を得る. $\triangle RAE \sim \triangle RC'F$ より, $$\frac{EA}{\color{blue}{ER}}\cdot \frac{\color{green}{FR}}{FC'}=1$$ を得る. $\triangle CEB' \sim \triangle CFQ$ より, $$\frac{EB'}{EC}\cdot \frac{FC}{\color{orange}{FQ}}=1$$ を得る. $\triangle CEA \sim \triangle CFB$ より, $$\frac{EC}{EA}\cdot \frac{FB}{FC}=1$$ を得る. $\triangle A'B'E \sim \triangle A'C'F$ より, $$\frac{EA'}{EB'}\cdot \frac{FC'}{FA'}=1$$ を得る.これら $5$ 式をすべてかけあわせると, $$\frac{\color{red}{EP}}{EA'}\cdot \frac{FA'}{FB}\cdot \frac{EA}{\color{blue}{ER}}\cdot \frac{\color{green}{FR}}{FC'} \cdot \frac{EB'}{EC}\cdot \frac{FC}{\color{orange}{FQ}} \cdot \frac{EC}{EA}\cdot \frac{FB}{FC} \cdot \frac{EA'}{EB'}\cdot \frac{FC'}{FA'}=\frac{\color{red}{EP}}{\color{blue}{ER}}\cdot \frac{\color{green}{FR}}{\color{orange}{FQ}}= 1$$ したがって,$3$ 点 $P,Q,R$ は同一直線上にある.