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三角関数の合成に関する基本事項を紹介します.



⇨予備知識


三角関数の合成

三角関数の合成: $a,b$ を実数とする.このとき,次が成り立つ. $$\large a\sin \theta+b\cos \theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta+\alpha)$$ ただし,$\alpha$ は $\cos \alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\sin \alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $ を満たす角度.

三角関数の合成とは,$\sin$ の定数倍と $\cos$ の定数倍の和を,$\sin$ の定数倍のみで表す変形のことです.ただし,左辺の $\sin$ と $\cos$ の角度 $\theta$ はどちらも同じである必要があります.

$a,b$ は実数であればどのような値でも合成公式は成立します.

・$\sin \theta+\sqrt{3}\cos \theta$ を合成します.$\cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}}=\frac{1}{2},\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\alpha$ を考えると,$\alpha=\frac{\pi}{3}$ が見つかります.したがって, $$\sin \theta+\sqrt{3}\cos \theta=2\sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)$$
・$\sin \theta+\cos \theta$ を合成します.$\cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $\alpha$ を考えると,$\alpha=\frac{\pi}{4}$ が見つかります.したがって, $$\sin \theta+\cos \theta=\sqrt{2}\sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$$
・$2\sin \theta+3\cos \theta$ を合成します.$\cos \alpha=\frac{2}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{2}{\sqrt{13}},\sin \alpha=\frac{3}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{3}{\sqrt{13}}$ を満たす $\alpha$ を用いると, $$2\sin \theta+3\cos \theta=\sqrt{13}\sin (\theta+\alpha)$$ とかけます.上の $2$ つの例とは違って,この場合は所望の $\alpha$ を $\pi$ の式できれいに書き表せません.したがって,$\alpha$ を式中にそのまま残しています.しかし,$\alpha$ の値が具体的に求められない場合でも三角関数の合成が有用となりうる場面は多くあります.

合成公式の証明

合成公式は三角関数の加法定理を使って簡単に証明できます.

合成公式の証明: $a,b$ がともに $0$ のときは明らかに成り立つ.

$a,b$ の少なくとも一方は $0$ でないとする. $\alpha$ を $\cos \alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\sin \alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $ を満たす角度とする.このとき,任意の角度 $\theta$ に対して加法定理より, $$\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta+\alpha)=\sqrt{a^2+b^2}(\sin \theta \cos \alpha+\cos \theta \sin \alpha)$$ これに,$\cos \alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\sin \alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ を代入すると, $$=a\sin \theta+b\cos \theta$$ が成り立つ.

応用例

三角関数の合成を用いて解くいくつかの基本的な問題と解答例を紹介します.

 つぎの方程式を解け.ただし,$0\le \theta < 2\pi$ とする. $$\sqrt{3}\sin \theta+\cos \theta=-\sqrt{2}$$

三角関数の合成を用いると, $$\sqrt{3}\sin \theta+\cos \theta=2\sin \left( \theta+\frac{\pi}{6}\right)$$ したがって,もとの式は, $$\sin \left( \theta+\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ となります.$0\le \theta < 2\pi$ より,$\frac{\pi}{6} \le \theta+\frac{\pi}{6} < \frac{13\pi}{6}$ .したがって, $$\theta+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}$$ ゆえに,$$\theta=\frac{13\pi}{12},\frac{19\pi}{12}$$ と求まります.

 つぎの不等式を解け.ただし,$0\le \theta < 2\pi$ とする. $$\sin \theta <\cos \theta$$

$\cos \theta$ を左辺に移項すると,求める不等式は,$\sin \theta-\cos \theta < 0$.三角関数の合成より, $$\sin \theta-\cos \theta=\sqrt{2}\sin \left(\theta -\frac{\pi}{4} \right)$$ したがって,もとの式は, $$\sin \left(\theta -\frac{\pi}{4} \right) < 0$$ となります.$0\le \theta < 2\pi$ なので,$-\frac{\pi}{4} \le \theta-\frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{4}$ だから, $$-\frac{\pi}{4} \le \theta-\frac{\pi}{4} < 0,\pi < \theta-\frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{4}$$ すなわち, $$0\le \theta <\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4} < \theta < 2\pi$$ と求まります.

 $\theta$ が実数全体を動くとき, $$3\sin \theta+4\cos \theta+2$$ の最大値,最小値を求めよ.

三角関数の合成より, $$3\sin \theta+4\cos \theta+2=5\sin (\theta+\alpha)+2$$ ただし,$\alpha$ は $\sin \alpha=\frac{4}{5},\cos \alpha=\frac{3}{5}$ を満たす実数.($\alpha$ の値を具体的に求めようとしないところがポイント)
$\theta$ はあらゆる実数値をとるので,$\theta+\alpha$ もあらゆる実数値をとる.したがって,$5\sin (\theta+\alpha)$ の最大値は $5$,最小値は $-5$.以上より,もとの式の最大値は $7$,最小値は $-3$.

このように,合成公式を使うことで,ばらばらな $\sin$ や $\cos$ をひとまとめにして扱うことで,状況を簡単にすることができます.