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三角形と直角三角形の合同条件について紹介します.




図形の合同

図形の合同とは,形と大きさが等しいという概念を表すための数学用語です.
平面上の $2$ つの図形について,一方の図形に平行移動・回転移動・反転の操作を施して他方の図形にぴったり重ねることができるとき,それらふたつの図形は合同であるといいます.

これらの操作は,すべてを用いる必要はありません.いろいろな合同の例をみてみましょう.

平行移動

下図の $2$ つの鋭角三角形について,一方を平行移動すれば他方にぴったり重ねることができるので,$2$ つの三角形は合同です.
三角形の合同

平行移動+回転移動

下図の $2$ つの台形について,一方を平行移動し,さらに回転移動すれば他方にぴったり重ねることができるので,これらは合同です.
三角形の合同

平行移動+反転

下図の $2$ つの直角三角形について,一方を平行移動し,さらに反転 (裏返し) すれば他方にぴったり重ねることができるので,$2$ つの三角形は合同です.
三角形の合同

平行移動+回転移動+反転

下図の $2$ つの鈍角三角形について,一方を平行移動して,反転し,さらに回転移動すれば他方にぴったり重ねることができるので,これらは合同です.
三角形の合同

合同の表し方

下図のように,$△ABC$ と $△DEF$ が与えられたとしましょう.
三角形の合同
平行移動によって,一方が他方にぴったり重なるので,$△ABC$ と $△DEF$ は合同です.このことを $△ABC\equiv △DEF$ と表します.$\equiv$ は合同を表す記号です.

ここで注意しなければならないのは,合同を表すときは,対応する点を同じ順に書かなければならないということです.対応する点とは,ぴったり重ねたときに一致する点のことです.上の例では,$A$ と $D$ ,$B$ と $E$,$C$ と $F$ がそれぞれ対応しているので,一方を $ABC$ の順に書いたのならば,他方を $DEF$ の順に書かなければなりません.したがって,上の例を $△ABC\equiv △DFE$ などと書くのは間違いです.

合同でない場合

一方を拡大または縮小して他方に一致したとしてもそれらは合同とは言いません.たとえば,下図では,左の図形を平行移動し,拡大すれば右の図形と一致しますが,これらは合同ではありません.
三角形の合同
平行移動・回転移動・反転に拡大・縮小の操作も加えた場合は,相似と言います.

三角形の合同条件

$2$ つの三角形について,それらが合同であるかどうかを確かめるためには,辺の長さや,角の大きさの情報がどの程度与えられていればよいでしょうか.三角形は $3$ の辺の長さと $3$ つの角の大きさという合計 $6$ つの基本的な情報をもっています.そして三角形の形と大きさは,これら $6$ つの情報により決定します.$2$ つの三角形について,これら $6$ つの情報が全部一致していれば,当然それらは合同です.しかし,実は,$6$ つすべての情報は必要ありません. $2$ つの三角形が合同であるための $3$ つの条件

三角形の合同条件: $2$ つの三角形は,次のいずれかが成り立つとき合同である.
$(1)$ $3$ 辺がそれぞれ等しい.
$(2)$ $2$ 辺とその間の角がそれぞれ等しい.
$(3)$ $1$ 辺とその両端の角がそれぞれ等しい.


この $3$ つの条件は非常に基本的で重要なので,そのまま覚えるべきでしょう.

$3$ 辺がそれぞれ等しい

$3$ 辺の長さが与えられると,三角形の形と大きさはただひとつに決まります.
三角形の合同

$2$ 辺とその間の角がそれぞれ等しい

$2$ 辺とその間の角が与えられると,三角形の形と大きさはただひとつに決まります.
三角形の合同

$1$ 辺とその両端の角がそれぞれ等しい

$1$ 辺とその両端の角が与えられると,三角形の形と大きさはただひとつに決まります. 三角形の合同

注意

$2$ 辺の長さと,その間でない角が与えられたとしても,三角形はただひとつには決まりません.たとえば,下の $2$ つの三角形は,$AB=DE,AC=DF,\angle B=\angle E$ ですが,形が違います.
三角形の合同
このように,$2$ つの辺とひとつの角が等しいからといって,合同になるとは限りません.

直角三角形の合同条件

$2$ つの三角形がともに直角三角形であるとわかっている場合は,それらが合同かどうかを確かめることはより簡単になります.つまり,先にみたような一般の三角形に対する合同条件よりも少ない情報で,合同かどうかを確かめることができます.

直角三角形の合同条件: $2$ つの直角三角形は,次のいずれかが成り立つとき合同である.
$(1)$ 斜辺とひとつの鋭角がそれぞれ等しい.
$(2)$ 斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい.

斜辺とひとつの鋭角がそれぞれ等しい

直角三角形の斜辺とは,直角に対する辺のことです.(直角の向かい側にある辺のこと) 直角三角形の合同
$2$ つの直角三角形について,($1$) の条件が成り立つとしましょう.このとき,三角形の内角の和は $180°$ なので,残りのひとつの角もそれぞれ等しいことがわかります.
直角三角形の合同
すると,$1$ 辺の長さとその両端の角がそれぞれ等しくなるので,三角形の合同条件の ($3$) を満たします.ゆえにふたつの直角三角形は合同です.

斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい

直角三角形の合同
$2$ つの直角三角形について,($2$) の条件が成り立つとしましょう.このとき,三平方の定理から,残りの一辺がそれぞれ等しいことがわかります.
直角三角形の合同
すると,$3$ 辺の長さがそれぞれ等しくなるので,三角形の合同条件の ($1$) を満たします.ゆえにふたつの直角三角形は合同です.