2017/4/11 
平面図形
三角形の頂点を通る $3$ 直線が $1$ 点で交わるとき，次のチェバの定理が成り立ちます．
チェバの定理： $△ABC$ の頂点 $A,B,C$ と，この三角形の辺上にもその延長上にもない点 $O$ を結ぶ各直線が，対辺またはその延長とそれぞれ点 $P,Q,R$ で交わるとき，次が成り立つ．
$$\large \frac{AR}{RB}\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}=1$$
定理の主張で述べられている状況は，点 $O$ が $△ABC$ の内部にあるときと，外部にあるときの $2$ つの場合があります．いずれの場合についても， $$\frac{AR}{RB}\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}=1$$ という式が成り立ちます．
チェバの定理は一見複雑な主張のように見えますが，あるコツさえ知ってしまえば，いつでも迷うことなく立式できます．直線と三角形の辺(またはその延長)との交点を分点と呼ぶことにします．つまり，点 $P,Q,R$ が分点です．下図ではわかりやすいように頂点を赤色，分点は青色で書いています．そこで，チェバの定理の左辺の式は，ある頂点から出発して，分点と頂点を交互にたどっていくことで，立式できます．
つまり，$△ABC$ の頂点 $A$ から出発して，$\color{red}{A}→\color{blue}{R}→\color{red}{B}→\color{blue}{P}→\color{red}{C}→\color{blue}{Q}→\color{red}{A}$ とたどっていきながら分母と分子を書いていけば，自然に立式できます． $$\large \frac{\color{red}{A}\color{blue}{R}}{\color{blue}{R}\color{red}{B}}\frac{\color{red}{B}\color{blue}{P}}{\color{blue}{P}\color{red}{C}}\frac{\color{red}{C}\color{blue}{Q}}{\color{blue}{Q}\color{red}{A}}=1$$ 単に定理の記号をそのまま覚えるのではなく，立式の仕方を覚えた方が間違えません．
チェバの定理は，三角形の面積と線分の比の関係を用いることで証明できます． 下図のように，$△ABC$ において，$A$ を通る直線と，線分 $BC$ との交点を $D$ とし，$AD$ 上に点 $O$ をとります．
このとき， $$\large BD:DC=△AOB:△AOC$$ が成り立ちます．以下のチェバの定理の証明は，この事実のみを用いています．
証明： 三角形の面積と線分の比より， $$\frac{AR}{RB}=\frac{△OAC}{△OBC} \cdots ①$$ $$\frac{BP}{PC}=\frac{△OAB}{△OAC} \cdots ②$$ $$\frac{CQ}{QA}=\frac{△OBC}{△OAB} \cdots ③$$ ①，②，③ 式を辺々かけると， $$\frac{AR}{RB}\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}=\frac{△OAC}{△OBC}\frac{△OAB}{△OAC}\frac{△OBC}{△OAB}=1$$
チェバの定理はその逆の主張も成り立ちます．この定理は，$3$ 直線が一点で交わることを証明するときによく用いられます．
チェバの定理の逆： $△ABC$ の辺 $BC,CA,AB$ またはその延長上に，それぞれ点 $P,Q,R$ があり，この $3$ 点のうち，$1$ 個または $3$ 個が辺上の点であるとする．このとき， $$\large \frac{AR}{RB}\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}=1$$ が成り立つならば，$3$ 直線 $AP,BQ,CR$ は $1$ 点で交わる．
