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円と直線の位置関係を,それぞれの式を利用して判断する方法を $2$ 通り紹介します.




円と直線の共有点

平面上に円と直線が位置しているとき,これらふたつの位置関係は次の $3$ パターンあります.
円と直線の位置関係
どのような条件が成り立つとき,どのパターンになるのでしょうか.以下,$2$ つの方法を紹介します.

点と直線の距離の公式を用いる方法

半径 $r$ の円と直線 $l$ があるとしましょう.ここで,円の中心から直線 $l$ までの距離を $d$ とすると,次が成り立ちます.

円と直線の位置関係1: 半径 $r$ の円の中心と直線 $l$ の距離を $d$ とする.
$$\large d< r \Leftrightarrow \mbox{円と直線は}\ \color{red}{\mbox{異なる2点で交わる}}$$ $$\large d =r \Leftrightarrow \mbox{円と直線は}\ \color{red}{\mbox{1点で接する}}$$ $$\large d >r \Leftrightarrow \mbox{円と直線は}\ \color{red}{\mbox{共有点をもたない}}$$

これは下図をみれば明らかです.
円と直線の位置関係
この公式から $d$ と $r$ をそれぞれ計算すれば,円と直線の位置関係が調べられます.すなわち,わざわざグラフを書いてみなくても,代数的な計算によって,円と直線がどのような位置関係にあるかという幾何学的な情報が得られるということです.


 円 $x^2+y^2=3$ と直線 $y=x+2$ の位置関係を調べよ.

→solution

円 $x^2+y^2=3$ の中心の座標は $(0,0)$ . $(0,0)$ と直線 $y=x+2$ との距離は $\sqrt{2}$.
一方,円の半径は $\sqrt{3}$.
$\sqrt{2}<\sqrt{3}$ なので,円と直線は $2$ 点で交わる.

 円 $(x-2)^2+(y-1)^2=5$ と直線 $x+2y+1=0$ の位置関係を調べよ.

→solution

円 $(x-2)^2+(y-1)^2=5$ の中心の座標は $(2,1)$ . $(2,1)$ と直線 $x+2y+1=0$ との距離は $\sqrt{5}$.
一方,円の半径は $\sqrt{5}$.
したがって,円と直線は $1$ 点で接する.

判別式を用いる方法

前節の方法は,円と直線の場合に限った方法でしたが,今度はより一般に,$2$ 次曲線 (円,楕円,放物線,双曲線) と直線の位置関係を調べる際に使える方法を紹介します.こちらの方がやや高級な考え方です.

たとえば,円 $x^2+y^2=5$ と直線 $y=x+1$ の共有点の座標を考えてみましょう.
円と直線の位置関係
共有点の座標は,連立方程式 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = 5 \cdots ①\\ y=x+1 \cdots ② \end{array} \right. \end{eqnarray} の解です.$②$ を $①$ に代入すると, $$x^2+x-2=0$$ これを解くと,$x=1,-2$ です.
$②$ より,$x=1$ のとき,$y=2$,$x=-2$ のとき,$y=-1$
したがって,共有点の座標は $(1,2),(-2,-1)$

つまり,円と直線の位置関係は,直線の式を円の式に代入して得られた $2$ 次方程式の解の個数と直接関係しています.

一般に,円 $(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$ と,直線 $y=mx+n$ について,直線の式を円の式に代入して $y$ を消去すると,$2$ 次方程式 $$ax^2+bx+c=0$$ が得られます.この方程式の判別式を $D$ とすると,次が成り立ちます.

円と直線の位置関係2: 
$$\large D>0 \Leftrightarrow \mbox{円と直線は}\ \color{red}{\mbox{異なる2点で交わる}}$$ $$\large D=0 \Leftrightarrow \mbox{円と直線は}\ \color{red}{\mbox{1点で接する}}$$ $$\large D>0 \Leftrightarrow \mbox{円と直線は}\ \color{red}{\mbox{共有点をもたない}}$$


 円 $x^2+y^2=3$ と直線 $y=x+2$ の位置関係を調べよ.

→solution

$x^2+y^2=3$ に $y=x+2$ を代入すると, $$2x^2+4x+1=0$$ 判別式を $D$ とすると,$\frac{D}{4}=4-2=2>0$.
したがって,円と直線は $2$ 点で交わる.

 円 $(x-2)^2+(y-1)^2=5$ と直線 $x+2y+1=0$ の位置関係を調べよ.

→solution

$(x-2)^2+(y-1)^2=5$ に $x+2y+1=0$ すなわち,$x=-2y-1$ を代入すると, $$y^2+2y+1=0$$ 判別式を $D$ とすると,$\frac{D}{4}=1-1=0$.
したがって,円と直線は $1$ 点で接する.

この例のように,$y$ ではなく $x$ を消去した $2$ 次方程式の判別式を調べてもよい.