$1$ 点の座標と直線の式が与えられたとき，その点と直線との距離を求める公式を導出します．この公式は非常に重要で便利である上に，式がきれいなので覚えやすいです．
座標平面上に，$1$ 点 $A$ と直線 $l$ が与えられているとします．
$A$ から直線 $l$ に垂線をおろし，その足を $H$ とします．
$1$ 点 $A$ と直線 $l$ との距離とは，$AH$ の長さのことです．
これは，点 $P$ が直線 $l$ 上を動くときの $AP$ の長さの最小値でもあります．
まずは，直線の式が $y=mx+n$ という形で与えられている場合を考えてみましょう．
点と直線の距離の公式1: $1$ 点 $(x_1,y_1)$ と直線 $y=mx+n$ の距離を $d$ とすると，次が成り立つ． $$\large d = \frac{|y_1-mx_1-n|}{\sqrt{1+m^2}}$$
この公式は次のようにして，示すことができます．まず，下図のように，$1$ 点 $A(x_1,y_1)$ と直線 $l:y=mx+n$ があり，$A$ から直線 $l$ におろした垂線の足を $H$ としましょう．$AH=d$ です．
さらに，下図のように $2$ つの直角三角形を作ります．つまり，点 $C$ を $AC$ が $y$ 軸に平行で，$BC=m$ となるようにとり，$C$ を通り $x$ 軸に平行な直線と直線 $l$ との交点を $D$ とします．直線 $l$ の傾きは $m$ なので，$DC=1$ です．
また，$AB=|y_1-(mx_1+n)|=|y_1-mx_1-n|$ で，$DB=\sqrt{1+m^2}$ です．
さて，上図の $2$ つの直角三角形 $△ABH$ と $△DBC$ は相似なので， $$AB:AH=DB:DC$$ すなわち， $$|y_1-mx_1-n|:d=\sqrt{1+m^2}:1$$ したがって， $$d=\frac{|y_1-mx_1-n|}{\sqrt{1+m^2}}$$ となって，確かに公式が成り立ちます．
つぎは，直線の式が $ax+by+c=0$ という形で表されている場合です．この場合の公式のほうが使いやすいかもしれません．
点と直線の距離の公式2: $1$ 点 $(x_1,y_1)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離を $d$ とすると，次が成り立つ． $$\large d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
これは，$y=mx+n$ 型の公式から容易に導かれます．
$b\neq 0$ のとき
直線の式 $$ax+by+c=0$$ を変形すると， $$y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$$ となります．したがって，前節における公式に，$m=-\frac{a}{b}，n=-\frac{c}{b}$ を代入すると，$1$ 点 $(x_1,y_1)$ と直線 $ax+by+c=0$ との距離 $d$ は， $$d=\frac{|y_1+\frac{a}{b}x_1+\frac{c}{b}|}{\sqrt{1+\left(-\frac{a}{b}\right)^2}}=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
$b＝0$ のとき
直線の式は $ax+c=0$ すなわち，$x=-\frac{c}{a}$ となります．
これは，$y$ 軸に平行な直線なので，$1$ 点 $(x_1,y_1)$ と直線 $x=-\frac{c}{a}$ との距離 $d$ は， $$d=\left|x_1+\frac{c}{a}\right|=\frac{|ax_1+c|}{|a|}$$ これは，公式 $$d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ において，$b=0$ としたものに他なりません．
以上より，いずれの場合も上の公式が成り立つことが示されました．
