思考力を鍛える数学

まずは何も見ずに考えてみてください．暗算で解ける方も多いと思います． たとえば，十進法で$1$から$9$までの数を三進法で書いてみると次のようになります． $1→1_{(3)}$ $2→2_{(3)}$　 $3→10_{(3)}$　 $4...

数え上げの基本的な二つの原理である 和の法則と積の法則を紹介します． ある程度複雑な数え上げの問題を解く場合，ほとんど必ずと言ってもいいほど場合分けを行います．場合分けをするときは，考察している状況に重複がないように，そして全ての場合を尽く...

頭を柔らかくして解くパズルのような問題です．問題文の曖昧な点を補足しましょう．問題の図には$A,B,C,D$の$4$種類のアルファベットがかかれた四角が$2$つずつ，計$8$つあります．問題は，太い大きな外枠をはみでないように，同じアルフ...

$2$ つの整数の最大公約数を求める手法のひとつであるユークリッドの互除法(ごじょほう)について解説します． ユークリッドの互除法とは，$2$ つの整数の最大公約数を求める方法のひとつです． 与えられた整数が大きい場合であっても，単純な手続...

$(x+y+z)^2$ を展開して同類項をまとめると，$x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx$ となって，たとえば，$x^2$ の係数が $1$ であるとか，$xy$ の係数が $2$ であるなどを知ることができます． ところが，...

つぎの形の隣接三項間漸化式を考えましょう． $$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0　(n=1,2,3,...)　　\cdots (*)$$ ここで，$p,q$ は定数で，$0$ でない数とします．数列 $\{a_n\}$ に対し...

hide or visible ポリアの壺とよばれる有名な確率の問題です．この問題を題材にした大学入試問題もたびたび出題されています． 袋の中の球を取り出す確率の問題はたくさんありますが，この問題の珍しいところは，試行を繰り返すたびに袋の中...

不等式の証明問題です．どんな自然数 $n$ をとってきても $\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^3}$ が $\frac{5}{4}$ より小さいことを示...

連立 $2$ 元 $1$ 次方程式の解き方を解説します． つぎのような文章題を考えてみましょう． 例題　$A$ くんは $1$ 個 $90$ 円のりんごと，$1$ 個 $150$ 円のなしを合わせて $8$ 個買ったところ，合計の値段が $...