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整数に関する証明問題等で威力を発揮する，無限降下法について解説します． 無限降下法(むげんこうかほう)とは，自然数あるいは自然数の部分集合には必ず最小の元が存在するという性質を用いた証明法です．背理法の一種であり，数学的帰納法の派生とみなす...

集合に関する基本的な定理である，ド・モルガンの法則について解説します． 一般に集合について考えるとき，$1$ つの集合 $X$ を決めて (ひとつ固定しておいて)，その部分集合について議論することが多いです．この $X$ を全体集合と呼びま...

九点円の定理とは，三角形と円に関する非常に美しい定理です．受験等に役立つことはほとんどないと思いますが，この定理の美しさを鑑賞する価値は十分あります．ぜひ，秩序だった様を存分に味わってください． 九点円の定理： $△ABC$ について，以下...

ホーム >> 論理 >> 要素数の等しい部分集合を適切に選ぶ $1$ 以上 $100$ 以下の整数からなる要素数 $100$ の集合 $S$ が与えられています．この集合 $S$ から $10$ 個の数を任意に選びま...

$\frac{1}{6}$ 公式とは，ある条件のもとで，2次関数の積分計算を高速に行うための公式です．$\frac{1}{6}$ 公式を使えば，面倒な積分計算をスキップして，すばやく答えを導くことができます．さらに，この公式が使える場面は(...

組合せの問題です．$200$ 以上の自然数 $N$ と $1$ から連続する $N$ 個の自然数の集合 $X$ を考えます．以下の条件 $(*)$ を満たす最小の自然数 $N$ を求める問題です． 条件 $(*)$ : $X$ からどのよ...

この記事の内容は本来は大学で学ぶものですが，高校数学までの知識で理解できます．原始多項式の定義と基本的な性質を紹介します． 原始多項式：　整数係数多項式 $f(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n$ は， $a_0,a_1,...

与えられた正整数を，和が一定の二つの正整数に分割する操作を行い，分割後の二つの数の積を得点として獲得します．各分割のしかたは和が一定の正整数であれば，どんな $2$ つの数に分割してもよいです．さて，分割のしかたはいろいろ考えられますが，...

$A_1,...,A_n$ の $n$ 人の人たちが円卓に座ります．一般性を失うことなく，時計回りに $1,2,...,n$ と番号を割り振って，$i$ 番目の席に，$A_i$ の名札が置いてあるとして構いません．はじめ，$A_1$ は間...

三角関数の合成：　$a,b$ を実数とする．このとき，次が成り立つ． $$\large a\sin \theta+b\cos \theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta+\alpha)$$ ただし，$\alpha$ ...