Lion

$2$ つの整数 $a,b$ の差とは，$|a-b|$ のことだと考えてください．つまり，操作は $2$ つの整数を消し，新たにひとつの非負整数をつけたすという行為になります．操作を行うごとに黒板に書かれた数は一つ減るので，この操作を $...

この記事では，因数分解はすべて有理数の範囲で考えます． 次数がすべて偶数であるような多項式を複2次式といいます． 複2次式の例 ・$x^4+1$ ・$3x^4-2x^2+4$ ・$x^6+3x^2+2$ ・$x^2y^4+y^2+1$ この...

$3$ 対 $3$ の総当たり戦とは，どの生徒も他校の $3$ 人の生徒と戦ったということです．したがって，合計 $9$ 試合行われたことになります．さらに引き分けがないので，どの試合も一方の生徒が勝ち，他方の生徒が負けたことになります．...

正の整数の組 $(x,y)$ であって，$\frac{x^2+y}{y^2-x}$ と $\frac{y^2+x}{x^2-y}$ がともに整数になるようなものをすべて見つける問題です．標準的な大学入試レベルの問題です． たとえば，$(x...

非常にシンプルな最大化問題です．$4$ 変数 $x,y,z,w$ には $2$ つの等式制約があります．つまり，和と二乗和が一定の値であるという制約です．この $2$ つの制約のもとで $4$ 変数が動くとき，$x$ が最大となるようなと...

パップスの六角形定理とは，射影幾何学における基本的で重要な定理です． パップスの六角形定理：　同一平面上にある $2$ 直線 $l_1,l_2$ 上の $3$ 点をそれぞれ $A,B,C;A',B',C'$ とする．直線 $AB'$ と $...

$x,y$ は互いに素 (つまり最大公約数が $1$) であるような自然数の組です．このとき，$x^{2n}+y^{2n}$ が $x+y$ の倍数となるときはいつか，というのが問題です．$x^{2n}+y^{2n}$ という式をみて何か...

$1$ 変数多項式の最大公約数，最小公倍数の定義と例を紹介します． まずは，整数の最大公約数，最小公倍数について復習しましょう．この記事では，約数や倍数といえば常に自然数の範囲で考えることにします． $2$ つ以上の整数において，それらに共...

集合 $S=\{1,2,...,10\}$ の空でない部分集合は $2^{10}-1$ 個あります．このうち，$2^9+1$ 以上 (つまり，だいたい半分より多く)の部分集合を好きなように選びます．どのように選んだとしても，そのうちのどれ...