Lion

論証力と思考力を必要とする問題です．登山家が山登りをする問題ですが，休憩のみが問題となっていることに注意してください．また，個々の休憩の長さ等もあまり重要なことではありません．ただ，同時刻に休憩をとっていた登山家の人数に焦点が当たっていま...

オイラー予想とは，スイスの偉大な数学者レオンハルト・オイラーが提唱した，フェルマーの最終定理を発展させた数学の予想です．フェルマーの最終定理とはよく知られているように， フェルマーの最終定理: $3$以上の自然数$n$に対して， $$x^...

標準的な整数問題です．与えられた式は分数の形をしていますが，整数 $x$ がある値のときは，整数となります．そのような $x$ をすべて見つける問題です． ヒント-分子・分母をそれぞれ関数としてみる- 整数問題ですが，関数の知識が役に立ち...

説明のために$6$種類のカードをそれぞれ$A,B,C,D,E,F$としましょう．合計$120$枚のカードを何人かの子供に分け与えます．このとき，$1$人の子供に対して同じ種類のカードを$2$枚以上は配りません． 問題文最後の条件は，$2$...

三角比の練習問題のつもりで出題しました．($1$) は初等幾何の知識のみで解けます．また，三角比を用いて順番に長さを求めていっても求まります．($2$) は解き方によっては多少計算が複雑になるかもしれません．また，答えの表示の仕方はいろい...

$a+b+c$ を満たす非負整数 $a,b,c$ の組は全部で，${}_{7+2} \mathrm{C} _{2}=36$ 通りあります．$36$ 通りすべてについて ${}_{10} \mathrm{C} _a\dot {}_{10} ...

グラフ理論の問題ですが，特別な知識は必要ありません．以下では，状況を簡略化するために，人を点で表し，『$2$ 人が互いに知り合いである』という状況を， $2$ 点を線分で結ぶことで表します．同様に，『$2$ 人が互いに知り合いでない』とい...

ピースを組み合わせて大きな正方形をつくるパズルの問題です．ピースを奇数個しか用いてはいけないことに注意してください．もし，偶数個用いることができるならば，$2$ 個組み合わせて，以下の様な $3 \times 4$ の長方形がつくれます．...

3つの直角三角形とその内接円に関する問題です．図形の問題ですので，まずは図を書いてみましょう． $△ABC$の内接円は書くと図が混雑するのであえて書きませんでした．図を書くときは，全部を一つの図に書くのではなく，部分的な箇所だけ書いたほ...

$1$ 辺の長さが $1$ の正方形 $PQRS$ が三角形 $ABC$ に接しています．$BC=2$ で $P$ は $BC$ の中点であるとき，$AR$ の長さを求める問題です． 問題の条件から，$BP=CP=PS=SR=RQ=QP=...