問題の説明

組合せの問題です．$200$ 以上の自然数 $N$ と $1$ から連続する $N$ 個の自然数の集合 $X$ を考えます．以下の条件 $(*)$ を満たす最小の自然数 $N$ を求める問題です．
条件 $(*)$ : $X$ からどのように $100$ 個の要素を取り除いたとしても，残りの集合から上手に $100$ 個の要素を選んで和が $N$ となるようにできる．

この条件が少しわかりにくいです．より噛み砕いて言うと，『$X$ という集合からどんな $100$ 個の要素を取り除いたとしても，残りの $N-100$ 個の要素から上手に $100$ 個選んで，その和が $N$ になるようにできる．』ということです．

示すべきことは $2$ つあります．ひとつは，求めるべき $N$ よりも小さい値では，条件 $(*)$ に違反してしまうこと．もうひとつは，求めるべき $N$ が実際に条件 $(*)$ を満たしていることです．前半は簡単ですが，後半は少し発想が必要です．

解答例

$N=15050$ であることを示します．

まず，$N$ < $15050$ のとき，条件 $(*)$ が必ず満たされないことを示します．
$N$ < $15050$ のとき，$X$ から $1,2,...,100$ の $100$ 個の要素を取り除いたとすると，残りの集合から $100$ 個選んで和が最小になるようなものは，当然 $101,102,...,200$ です．このとき， $$101+102+\cdots +200=\frac{1}{2}\times 301 \times 100=15050 > N$$ です．したがって，$X\backslash \{1,2,...,100\}$ からどのように $100$ 個の要素を選んでもその和は $N$ より大きくなってしまうので，条件 $(*)$ は満たされません．

つぎに，$N=15050$ のとき，確かに条件 $(*)$ が満たされることを示します．
以下のような $150$ 組の $2$ つの数のペアを考えます． $$\binom{1}{300},\binom{2}{299},\binom{3}{298},...,\binom{150}{151}$$ どの組も，$2$ つの数の和は $301$ であり，さらにどの組に現れている数も相異なることに注意してください．
上の組は $150$ 組あるので，$X$ から，どのように $100$ 個の数を取り除いたとしても，少なくとも $50$ 組は取り除かれていません．その $50$ 組を選べば，その和は $$50\times 301=15050=N$$ となるので，条件 $(*)$ を満たします．