ホーム >> 整数 >> 黒板の2つの数を消し,その差を書く遊び
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問題の説明

$2$ つの整数 $a,b$ の差とは,$|a-b|$ のことだと考えてください.つまり,操作は $2$ つの整数を消し,新たにひとつの非負整数をつけたすという行為になります.操作を行うごとに黒板に書かれた数は一つ減るので,この操作を $99$ 回行えば,最終的に黒板には $1$ つの非負整数のみが残ります.これが $1$ となるようにできるか,というのが問題です.できるならばその方法を,できないならばその証明を与えてください.

ヒント・考え方

操作を $99$ 回行うことを実際に考えることは組み合わせが多すぎるのでナンセンスです.一回の操作によって,黒板の状況がどのように変化するのかを考えてみてください.

解答例

どのように操作を繰り返したとしても,最終的に残った数を $1$ にすることは不可能であることを示します.

操作を一度行ったあとの黒板の奇数の個数の増減を調べます.
(1) $2$ つの偶数を選んだ場合
(偶数)-(偶数)=(偶数) なので,奇数の増減は $0$ です.(つまり,黒板の奇数の個数は操作の前と後で変化しない)

(2) 奇数と偶数を選んだ場合
(奇数)-(偶数)=(奇数)
(偶数)-(奇数)=(奇数)
なので,操作は奇数をひとつ消し,再び奇数をひとつ書き足しているので,奇数の増減は $0$ です.

(3) $2$ つの奇数を選んだ場合
(奇数)-(奇数)=(偶数) なので,操作は奇数をふたつ消し,偶数をひとつ書き足しているので,奇数の増減は $-2$ です.

よって,操作を一度行うと,黒板の奇数の個数は,変わらないか,ふたつ減るかのいずれかです.
はじめ,黒板には $50$ 個の奇数があるので,操作を何度行おうと,黒板の奇数の個数は偶数です.ところが最終的に残った数が $1$ だとすると,黒板の奇数の個数が奇数ということになり不合理です.よって,最終的に残った数を $1$ にすることは不可能です.


解答は数日後に載せます.