与えられた正整数を，和が一定の二つの正整数に分割する操作を行い，分割後の二つの数の積を得点として獲得します．各分割のしかたは和が一定の正整数であれば，どんな $2$ つの数に分割してもよいです．さて，分割のしかたはいろいろ考えられますが，獲得する得点が最大となるような分割はどのようなものか，というのが問題です．
ヒント
具体的な数で数種類の分割を試みて，総得点を計算してみてください．何か気づくことはないでしょうか．
解答
どのように分割しても，獲得する総得点が必ず $\frac{1}{2}n(n-1)$ となることを，帰納法で示します． $n=1,2$ のとき，明らかに獲得できる得点は $0,1$ であるからこの場合はOKです． $1,2,…,n$ のとき，結論が成り立つと仮定して，$n+1$ の場合に獲得する総得点が $\frac{1}{2}(n+1)n$ であることを示します． はじめに $n+1$ を $k,n+1-k$ に分割したとします．($0< k < n+1$) このとき獲得する得点は $k(n+1-k)$ です．帰納法の仮定から，$k，n+1-k$ の分割で獲得できる総得点はそれぞれ $\frac{1}{2}k(k-1),\frac{1}{2}(n+1-k)(n-k)$ です．したがって，$n+1$ の分割によって獲得する総得点は， $$k(n+1-k)+\frac{1}{2}k(k-1)+\frac{1}{2}(n+1-k)(n-k)$$ $$=\frac{1}{2}\{(2nk+2k-2k^2)+(k^2-k)+(n^2-2nk+n-k+k^2)\}$$ $$=\frac{1}{2}n(n+1)$$ よって，$n+1$ のときも成り立つ．
以上より，$n$ をどのように分割しても，獲得する総得点は必ず $\frac{1}{2}n(n-1)$ であるので，獲得する総得点の最大値も $\frac{1}{2}n(n-1)$ です．
