ホーム >> 組合せ >> ポリアの壺
hide or visible

問題の説明

ポリアの壺とよばれる有名な確率の問題です.この問題を題材にした大学入試問題もたびたび出題されています.

袋の中の球を取り出す確率の問題はたくさんありますが,この問題の珍しいところは,試行を繰り返すたびに袋の中の球の総数が増えることです.各試行ごとに袋の中の球はちょうど $c$ 個増えます.

つまり,取り出した球と同じ色の球がもっと取り出しやすくなります.

考え方・ヒント

$n$ 回目の試行で赤球が取り出される確率を $p_n$ とします.$p_1,p_2$ を計算すると, $$p_1=\frac{a}{a+b}$$ $$p_2=p_1\times \frac{a+c}{a+b+c}+(1-p_1)\times \frac{a}{a+b+c}=\frac{a}{a+b}$$ となります.ここで,勘のいい人は まさか!? と思うでしょう.

さて,この問題を解くひとつの方法は漸化式を考えることです.ただし,その立て方に工夫が必要です.というのは,素朴に漸化式を立てようとすると,『$n$ 回目に赤球を選んだ場合と,そうでない場合に分けて,$n+1$ 回目の試行を考える』 という方針になると思います.しかし,これはうまくいきません.なぜなら,$n$ 回目に赤球を選んでも白球を選んでも,袋の中の赤球と白球の量は不明瞭だからです.

実は,このブラックボックスに言及しなくてすむような上手な場合分けが存在します.

解説

$n$ 回目の試行で赤球が取り出される確率を $p_n$ とします.
$$p_n=\frac{a}{a+b}$$ であることを示します.$p_1=p_2=\frac{a}{a+b}$ であることは簡単に確かめることができます.

$n+1$ 回目の試行を考えることで漸化式をたてます.まず,$n+1$ 回目の試行のとき,袋の中の球は全部で $a+b+cn$ 個あります.ここで,$n+1$ 回目にとる赤球の選び方は次のふたつに場合分けできます.
($1$) $n$ 回目に追加した $c$ 個の赤球のうちのひとつを取る場合
($2$) そうでない赤球を取る場合
それぞれの場合について,その確率を考えます.

($1$) のとき

この場合では,$n$ 回目の試行では必ず赤球をとっていなければなりません.したがって,この場合に $n+1$ 回目で赤球をとる確率は $$p_n\times \frac{c}{a+b+cn}$$ です.

($2$) のとき

この場合では,$n$ 回目の試行では赤球をとっていても白球をとっていても構いませんが,いぜずれにせよ $n$ 回目に追加した $c$ 個の球は必ず選びません.$n$ 回目に追加した $c$ 個の球をとらない確率は $\frac{a+b+c(n-1)}{a+b+cn}$ です.さらに,残りの $a+b+c(n-1)$ 個の球から赤球を選ぶ確率は,$p_n$ に等しいので,この場合に $n+1$ 回目で赤球をとる確率は $$\frac{a+b+c(n-1)}{a+b+cn}\times p_n$$ です.

($1$),($2$) より, $$p_{n+1}=p_n\times \frac{c}{a+b+cn}+\frac{a+b+c(n-1)}{a+b+cn}\times p_n=p_n  (n\ge 1)$$ が従います.以上より, $$\boxed{p_n=\frac{a}{a+b}}$$ が示せました.