ホーム >> 組合せ >> 二項係数の積の和
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問題の説明

$a+b+c$ を満たす非負整数 $a,b,c$ の組は全部で,${}_{7+2} \mathrm{C} _{2}=36$ 通りあります.$36$ 通りすべてについて ${}_{10} \mathrm{C} _a\dot {}_{10} \mathrm{C} _b\dot {}_{10} \mathrm{C} _c$ を計算するのは非常に大変です.これをどうにか工夫して簡単に求めてください,というのが今回の問題です.問題の状況をうまくあらわす組み合わせ的状況,あるいは代数的状況をうまく設定するのがこの問題の難所です.

組み合わせ的な解法

袋の中に,赤球 $10$ 個,青球 $10$ 個,黄球 $10$ 個の合計 $30$ 個の球が入っているとします.この袋の中から無造作に $7$ 個の球を選んで,取り出します.取り出した $7$ 個の球について,赤球が $a$ 個,青球が $b$ 個 黄球が $c$ 個である場合の数は, $${}_{10} \mathrm{C} _a\dot {}_{10} \mathrm{C} _b\dot {}_{10} \mathrm{C} _c$$ です.ただし,$a+b+c=7$ で,$a,b,c$ は非負整数.
さて,求めるべき値は,${}_{10} \mathrm{C} _a\dot {}_{10} \mathrm{C} _b\dot {}_{10} \mathrm{C} _c$ を $a+b+c=7$ を満たす非負整数 $(a,b,c)$ の組すべてについて足しあわせたものです.これはつまり,袋の中から無造作に $7$ 個の球を選んで取り出すときのすべての場合の数です.
よって,求めるべき値は $${}_{30} \mathrm{C} _{7}=2035800$$ です.

代数的な解法

二項定理より, $$(1+x)^{10}=\sum_{k=0}^{10} {}_{10} \mathrm{C} _{k}x^k$$ です.ここで, $$(1+x)^{10}(1+x)^{10}(1+x)^{10}=\left(\sum_{k=0}^{10} {}_{10} \mathrm{C} _{k}x^k\right)\left(\sum_{k=0}^{10} {}_{10} \mathrm{C} _{k}x^k\right)\left(\sum_{k=0}^{10} {}_{10} \mathrm{C} _{k}x^k\right)$$ $$=\sum_{k=0}^{10}\left(\sum_{a+b+c=k} {}_{10} \mathrm{C} _a\dot {}_{10} \mathrm{C} _b\dot {}_{10} \mathrm{C} _c\right)x^k$$ となります.ただし, $$\sum_{a+b+c=k}$$ とは,$a+b+c=k$ を満たす非負整数 $a,b,c$ の組すべてについて足し合わせるという意味です.
この式より,求めるべきは,$(1+x)^{10}(1+x)^{10}(1+x)^{10}$ を展開した時の $x^7$ の係数であることがわかります.一方で, $$(1+x)^{10}(1+x)^{10}(1+x)^{10}=(1+x)^{30}$$ なので,結局,求めるべき値は $${}_{30} \mathrm{C} _{7}=2035800$$ です.