問 等差数列 $\{ a_{n} \}$ が,ある自然数 $N$ に対して, $$0 < a_1+a_2+\cdots+a_N < -a_{N+1}$$ を満たすならば, $a_1 > a_2 > a_3 >\cdots$ となることを示せ.
2016/11/8
代数
★☆☆☆☆
数列がある不等式を満たすとき,その数列が単調に減少することを示す問題です.
$\{a_{n}\}$ が等差数列であることに注意してください.等差数列が単調減少数列であるとはどういうことでしょうか.
$\{a_n\}$ の公差を $d$ とします.$d < 0$ を示せばよいですね.
まず,$a_1 \le 0$ と仮定すると,$0 < a_1+a_2+\cdots+a_N $ ですから,$d > 0$ です.
$0 < a_1+a_2+\cdots+a_N < Na_{N}$ より,$a_{N} >0$ です.したがって,$a_{N+1} >0$ となります.しかしこれは問題文の不等式の
$0< -a_{N+1}$ に矛盾します.
よって,$a_1 >0$ です.このとき,$d \ge 0$ と仮定すると
$a_{N+1} >0$ となります.しかしこれは再び問題文の不等式,$0< -a_{N+1}$ に矛盾します.よって,$d < 0$ となります.
以上より,$a_1 > a_2 > a_3 >\cdots$ が示されます.
代数的に解くこともできます.
方針は解法 $1$ と同じで,$\{a_n\}$ の公差を $d$ として,$d < 0$ を示します.
$\{a_{n}\}$ は等差数列なので,その一般項は
$$a_{n}=a_1+d(n-1)$$
です.さらに,
$$a_1+a_2+\cdots+a_{N}=\sum_{k=1}^{N} \left(a_1+d(k-1) \right)=a_1N+\frac{1}{2}dN(N-1)$$
なので,与えられた不等式は,
$$0 < a_1N+\frac{1}{2}dN(N-1) <-a_1-d(N-1)$$
となります.第二式
$$a_1N+\frac{1}{2}dN(N-1) <-a_1-d(N-1)$$
を整理すると,
$$(N+1)\left(a_1+\frac{1}{2}dN \right) < 0$$
となり,$N+1 >0 $ なので,$\color{red}{\underline{\color{black}{a_1+\frac{1}{2}dN < 0}}}$ です.また,第一式を $N$ で割ると,
$$0 < a_1+\frac{1}{2}d(N-1)$$
すなわち,
$$\color{red}{\underline{\color{black}{\frac{1}{2}d < a_1+\frac{1}{2}dN }}}$$
です.赤線の2式より,
$$d < 0$$
となります.
したがって,$a_1 >a_2>a_3>\cdots $ が示されます.