等差数列の公差

問題の説明

数列がある不等式を満たすとき，その数列が単調に減少することを示す問題です．
$\{a_{n}\}$ が等差数列であることに注意してください．等差数列が単調減少数列であるとはどういうことでしょうか．

解法 $1$

$\{a_n\}$ の公差を $d$ とします．$d < 0$ を示せばよいですね．

まず，$a_1 \le 0$ と仮定すると，$0 < a_1+a_2+\cdots+a_N $ ですから，$d > 0$ です． $0 < a_1+a_2+\cdots+a_N < Na_{N}$ より，$a_{N} >0$ です．したがって，$a_{N+1} >0$ となります．しかしこれは問題文の不等式の $0< -a_{N+1}$ に矛盾します．

よって，$a_1 >0$ です．このとき，$d \ge 0$ と仮定すると $a_{N+1} >0$ となります．しかしこれは再び問題文の不等式，$0< -a_{N+1}$ に矛盾します．よって，$d < 0$ となります．

以上より，$a_1 > a_2 > a_3 >\cdots$ が示されます．

解法 $2$

代数的に解くこともできます．

方針は解法 $1$ と同じで，$\{a_n\}$ の公差を $d$ として，$d < 0$ を示します．

$\{a_{n}\}$ は等差数列なので，その一般項は $$a_{n}=a_1+d(n-1)$$ です．さらに， $$a_1+a_2+\cdots+a_{N}=\sum_{k=1}^{N} \left(a_1+d(k-1) \right)=a_1N+\frac{1}{2}dN(N-1)$$ なので，与えられた不等式は， $$0 < a_1N+\frac{1}{2}dN(N-1) <-a_1-d(N-1)$$ となります．第二式
$$a_1N+\frac{1}{2}dN(N-1) <-a_1-d(N-1)$$ を整理すると， $$(N+1)\left(a_1+\frac{1}{2}dN \right) < 0$$ となり，$N+1 >0 $ なので，$\color{red}{\underline{\color{black}{a_1+\frac{1}{2}dN < 0}}}$ です．また，第一式を $N$ で割ると， $$0 < a_1+\frac{1}{2}d(N-1)$$ すなわち， $$\color{red}{\underline{\color{black}{\frac{1}{2}d < a_1+\frac{1}{2}dN }}}$$ です．赤線の２式より， $$d < 0$$ となります． したがって，$a_1 >a_2>a_3>\cdots $ が示されます．

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