ホーム >> 幾何 >> 三角形の内部にある正方形
hide or visible

問題の説明

$1$ 辺の長さが $1$ の正方形 $PQRS$ が三角形 $ABC$ に接しています.$BC=2$ で $P$ は $BC$ の中点であるとき,$AR$ の長さを求める問題です.

問題の条件から,$BP=CP=PS=SR=RQ=QP=1$ です.長さが等しい辺がたくさんありますね.

解き方はたくさんあると思いますが,今回はあまり計算を使わないエレガントな方法を紹介します.

解法1-回転移動を用いる-

$△SBP$ を $S$ を中心として,$P$ が $R$ に来るように回転移動します.同様に,$△QPC$ を $Q$ を中心として,$P$ が $R$ に来るように回転移動します.このとき,$BP=PC$ ですから,$B$ と $C$ は重なります.この点を $D$ としましょう.

三角形
すると,$\angle ASD=\angle AQD=90°$ なので,$4$ 点 $ASDQ$ は同一円周上にあります.
また,$RS=RD=RQ$ なので,点 $R$ は円の中心となります.よって,$AR=1$ です.

解法2-座標を用いる-

座標を導入して解くことももちろんできます.この場合は発想力はあまり必要ないですが,計算がやや大変です.
たとえば, $P(0,0),B(-1,0),C(1,0)$,$\angle QPC=\theta$ とおくと,$Q(\cos \theta,\sin \theta),S(-\sin \theta,\cos \theta)$ となります.

これより,直線 $BS$ と直線 $CQ$ の方程式がわかり,$A$ の座標も $\theta$ を用いて表せます.$R(\cos \theta-\sin \theta,\sin \theta+\cos \theta)$ なので,$AR$ の長さが計算できます.いずれにしても $AR=1$ です.