2つの既約分数の和

注意事項

問題文に書き忘れた注意がひとつあります．
$2$ つの既約分数は一応どちらも正であると仮定してください．そうでないと，たとえば， $$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$$ などの式を $$\frac{3}{2}+\frac{1}{-2}=1$$ と解釈した場合，$2$ つの既約分数の和は整数ですが，その $2$ つの分数の分母は等しくないことになってしまいます．

first step

まずは与えられた状況を文字を用いて表現してみることが基本的な初手となります．正の整数 $a,b,c,d,m$ について，$a,b$ が互いに素で，$c,d$ も互いに素のとき $$\frac{b}{a}+\frac{d}{c}=m$$ が成り立つならば $a=c$ であることを示せばよいです．

この問題について，$2$ つの分数が既約分数であるという条件は必須です．つまり，$a,b$ が互いに素であることと，$c,d$ が互いに素であることの $2$ つの条件を使わなければ解けません．なぜなら，たとえば $$\frac{1}{2}+\frac{2}{4}=1$$ という式を見ると，$2$ つの分数の和は整数になっているけれど，分母は一致しません．

略解

$$\frac{b}{a}+\frac{d}{c}=m$$ の両辺を $a$ で割ると， $$b+\frac{ad}{c}=ma$$ したがって， $$\frac{ad}{c}=ma-b$$ なので，$\frac{ad}{c}$ は整数です．ここで，$c,d$ は互いに素なので，$a$ は $c$ の倍数になります．

同様に， $$\frac{b}{a}+\frac{d}{c}=m$$ の両辺を $c$ で割ると， $$\frac{bc}{a}+d=mc$$ なので，$\frac{bc}{a}$ は整数です．ここで，$a,b$ は互いに素なので，$c$ は $a$ の倍数です．

結局，$a$ は $c$ の倍数で，$c$ は $a$ の倍数なので，$a=c$ となります．($a,c$ はともに正であることに注意します)

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