ホーム >> 代数 >> 和の計算の処理
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問題の説明

今回は和の計算の工夫についての問題です.見かけはかなりゴツい式です.この式を $n=1,2,3,...$ と順番に足していこうとすると,何日かかるかわかりません.そこで,どうにかして足し方を工夫してきれいに解く方法がないか考えましょう.

考え方

項が $2015$ 個もあって多いので,まずは小さい数で考えてみましょう.たとえば, $$\sum_{n=1}^5 \frac{3^6}{9^n+3^6}$$ という式を計算してみます.この程度ならば,普通に計算できます. $$\sum_{n=1}^5 \frac{3^6}{9^n+3^6} \\ =\frac{3^6}{9+3^6}+\frac{3^6}{9^2+3^6}+\frac{3^6}{9^3+3^6}+\frac{3^6}{9^4+3^6}+\frac{3^6}{9^5+3^6} \\ =\color{red}{\underline{\color{black}{\frac{3^4}{1+3^4}}}}+\color{blue}{\underline{\color{black}{\frac{3^2}{1+3^2}}}}+\frac{1}{2}+\color{blue}{\underline{\color{black}{\frac{1}{3^2+1}}}}+\color{red}{\underline{\color{black}{\frac{1}{3^4+1}}}}$$ ここで,あえて計算を止めてみます.上の式を眺めてみると,$\frac{1}{2}$ を基点にして,左右の数をペアにして足すと,和が $1$ となることに気づきます.よって,全体の和は $\frac{5}{2}$ となることがわかります.さて,この左右をペアにして足すというアイデアを用いれば,元の問題もうまくいきそうです.あとは,このことをうまく数式で表現することができれば解くことができます.

解法

$$\sum_{n=1}^{2015} \frac{3^{2016}}{9^{n}+3^{2016}}=\color{red}{\underline{\color{black}{\sum_{n=1}^{1007} \frac{3^{2016}}{9^{n}+3^{2016}}}}}+\frac{1}{2}+\color{blue}{\underline{\color{black}{\sum_{n=1009}^{2015} \frac{3^{2016}}{9^{n}+3^{2016}}}}}$$ ここで,赤下線の部分については, $$\color{red}{\underline{\color{black}{\sum_{n=1}^{1007} \frac{3^{2016}}{9^{n}+3^{2016}}}}}=\sum_{n=1}^{1007} \frac{3^{(2016-2n)}}{1+3^{(2016-2n)}}$$ さらに,青下線の部分について,$m=2016-n$ とおくと, $$\color{blue}{\underline{\color{black}{\sum_{n=1009}^{2015} \frac{3^{2016}}{9^{n}+3^{2016}}}}}=\sum_{m=1}^{1007} \frac{3^{2016}}{9^{(2016-m)}+3^{2016}} \\ =\sum_{m=1}^{1007} \frac{1}{3^{(2016-2m)}+1}$$ よって, $$\sum_{n=1}^{2015} \frac{3^{2016}}{9^{n}+3^{2016}}=\sum_{n=1}^{1007} \frac{3^{(2016-2n)}}{1+3^{(2016-2n)}}+\frac{1}{2}+\sum_{m=1}^{1007} \frac{1}{3^{(2016-2m)}+1} \\ =\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{1007} 1=\frac{2015}{2}$$ が答えとなります.


足し方を工夫するというアイデアはいろいろなところで使えます.