ホーム >> 組合せ >> ピースを敷き詰めて正方形をつくる
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問題の説明

ピースを組み合わせて大きな正方形をつくるパズルの問題です.ピースを奇数個しか用いてはいけないことに注意してください.もし,偶数個用いることができるならば,$2$ 個組み合わせて,以下の様な $3 \times 4$ の長方形がつくれます.

したがって,これを $12$ 個用いれば $12 \times 12$ の正方形がつくれます.しかし,今回は与えられたピースを奇数個しか用いてはいけません.このとき,正方形をつくることは可能でしょうか.

考え方

ピースを見て,ちょっと複雑だな,と思った人もいるかもしれません.たしかに,与えられたピースがもし長方形等であればこの問題は簡単です.ですが今回はそれなりにいびつな形をしています.ここで,複雑な部分はできるだけ避けて考える,という方針で考えます.問題を取り組むにあたって,いきなり問題の複雑な部分を考えようとするのはよくありません.複雑な議論抜きにして簡単に得られる情報からその問題が解けてしまう可能性は大いにあります.今回の場合に複雑なのはピースのかたちです.そこで,まずはピースの形を気にしない議論を始めましょう.ピースの形に関係ない議論とはなんでしょうか.たとえば,ピースは $\color{red}{6}$ つの正方形でできています.この $6$ という量のみでなにか言えることはないでしょうか.

解法

与えられたピースを $n$ 個 ($n$ は奇数) 用いて一辺が $k$ の正方形がつくれたとします.このとき,面積に注目すると, $$6n=k^2$$ が成り立ちます.すなわち, $$2・3n=k^2$$ です.この左辺は $2$ の倍数ですから右辺は $4$ の倍数ということになります.ところが,$3n$ は奇数なので,これは矛盾です.したがって,奇数個のピースで正方形をつくることは不可能です.


序盤の一手は問題に深入りしない簡単なことを考えましょう.