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問題の説明

$x,y$ は有理数であることに注意してください.$x^2+y^2=3$ を満たす整数 $x,y$ は存在しないことはすぐにわかります.では,有理数の場合はどうでしょうか,という問題です.問題文が「〜は存在しないことを示せ」と否定の形になっているので,背理法を用いましょう.

解説

$x^2+y^2=3$ を満たす有理数 $x,y$ が存在すると仮定します.(背理法)

互いに素な整数 $p,q$ を用いて,$x=\frac{p}{q}$ とおきます. $$\left( \frac{p}{q} \right)^2+y^2=3$$ より, $$p^2+(yq)^2=3q^2$$ 移項して, $$(yq)^2=3q^2-p^2$$ となります.この右辺は整数なので,左辺も整数です.したがって,$yq$ は整数です.いま,整数 $m$ を用いて,$yq=m$ とおくと, $$p^2+m^2=3q^2$$ 右辺は $3$ の倍数なので,左辺も $3$ の倍数です.「$p^2+m^2$ が $3$ の倍数⇔$p,m$ がどちらも $3$ の倍数」なので,左辺は $9$ の倍数ということになります.よって,右辺も $9$ の倍数ですから,$q$ は $3$ の倍数でなければなりません.ところがこれは $p,q$ が互いに素であることに矛盾します.よって,$x^2+y^2=3$ を満たす有理数 $x,y$ が存在しないことが示されました.