直角三角形における線分の比

問題の説明

三角比の練習問題のつもりで出題しました．($1$) は初等幾何の知識のみで解けます．また，三角比を用いて順番に長さを求めていっても求まります．($2$) は解き方によっては多少計算が複雑になるかもしれません．また，答えの表示の仕方はいろいろあると思いますが，あっていればもちろんすべて正解です．結果はかなりシンプルになります．

($1$) の略解

$\angle ABC=30°$のときは，直角三角形 $ABC$ は三角定規になっています.$AC:BC:AB=1:2:\sqrt{3}$ なので，$AC=\frac{\sqrt{3}}{3},BC=\frac{2\sqrt{3}}{3}$です．したがって， $$CD=BC-BD=\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$$ また，$△ABD$ は二等辺三角形で，$\angle ADB=75°$ なので，$\angle CDE=75°$．ゆえに $\angle CED=180°-(\angle CDE+\angle DCE)=45°$となります．三角形 $CDE$ に正弦定理を用いると， $$\frac{CE}{\sin \angle CDE}=\frac{CD}{\sin \angle CED}$$ より， $$CE=\frac{\sin 75°}{\sin 45°}(\frac{2\sqrt{3}}{3}-1)$$ となって，$\sin 75°＝\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ を用いれば， $$CE=\frac{3-\sqrt{3}}{6}$$ です．

補足: 正弦定理を用いずに初等幾何のみでももちろん解けます．たとえば，$\angle A$の二等分線と線分 $BC$ との交点を $F$ とすれば，$\angle CED=45°$ だったので，$AF$ と $ED$ は平行です．角の二等分線定理より，$AB:AC=BF:CF$ なので，$CF=\frac{3-\sqrt{3}}{3}$ がわかり， $$CE:CD=CA:CF$$ から $CE=\frac{3-\sqrt{3}}{6}$ を導くことができます．

($2$)の解説

三角比を用いて，$AD,CD$などの線分の長さを順次求めていけば($2$)についても答えは出せますが，計算が多少複雑になるのでここでは，シンプルな解き方を紹介します．

$BC$ に関して $A$ と対称な点を $G$ とします． $\angle ADE+\angle ADB+\angle BDG=180°$ となるので,三点 $E,D,G$ は同一直線上にあります． $\angle CEG=3\theta,\angle CGE=\theta$ です．よって，三角形 $CGE$ に正弦定理を用いれば， $$AC:CE=GC:CE=\sin 3\theta:\sin \theta$$となります.
求める答えは $$\color{red}{\sin 3\theta:\sin \theta}$$ です． 当然，$3-4\sin^2 \theta :1$ なども正解となります．

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結果がとてもシンプルです．