整式に関する問題です．$f(x)$ はすべての係数が整数であるような多項式です. $a_1,a_2,…,a_n$ はすべて異なる整数で， $$f(a_1)=a_2, f(a_2)=a_3,\cdots,f(a_{n-1})=a_n, f(a_n)=a_1$$ というようなことが起こりえないことを示すのが今回の問題です．ここで，問題文では便宜上 $a_{n+1}=a_1$ として記述しています．この方が主張をスッキリかけるからです．設定が抽象的かつ一般的なので，難易度が高いです．しかし，逆に一般的な状況に対して述べれることは限られてくるので，方針は限られてきます．
考え方・方針
問題の問い方が「〜でないことを示せ」と否定的な形になっているので，背理法で示すのが順当です．つまり，「〜である」と仮定して，矛盾を導きます．さて，このように仮定したとき，一体どのような矛盾が起こりそうでしょうか．問題文における仮定はたった$2$つしかありません．それは， 「$f(x)$が整数係数多項式である」ことと，「整数$a_1,a_2,…,a_n$が相異なる」ことです．
よって，このどちらかに矛盾することを言えればよいです．
ヒント
今回の問題は最初の手がかりがつかめるかどうかが重要です．整数係数多項式$f(x)$に対して，次のような基本的なことが成り立ちます．
$f(x)$ を整数係数多項式とする．任意の整数$a,b$に対して， $$f(a)-f(b)=(a-b)g(a,b)$$ とかける．ただし $g(a,b)$ は整数．
つまり，$f(a)-f(b)$ は $(a-b)$✕(整数) の形にかけるということです．この(整数)の部分は$a,b$の値によって決まるので， $g(a,b)$ と書いています．上の主張は言われてみれば当たり前のことですが，今回の問題はこの基本的な事実がとても重要です．以下，解説です.
解説
$k=1,2,…,n$に対して， $$a_{k+2}-a_{k+1}=f(a_{k+1})-f(a_{k})=(a_{k+1}-a_{k})g(a_{k+1},a_{k})$$ が成り立ちます．これら $n$ 本の式を辺々かけると， $$g(a_2,a_1)g(a_3,a_2) \cdots g(a_n,a_{n-1})g(a_1,a_n)=1$$ です．ところで，$g(a_{k+1},a_{k})$ $(k=1,2,…,n)$ はすべて整数なので， $$g(a_{k+1},a_{k})=\pm 1$$ ですが，仮に$g(a_{k+1},a_{k})=-1$とすると， $$a_{k+2}-a_{k+1}=-(a_{k+1}-a_{k})$$ より， $$a_{k+2}=a_{k}$$ となります．しかし，$a_1,a_2,…,a_n$ はすべて異なる整数なので，これは矛盾です．よって， $$g(a_{k+1},a_{k})=1$$ が $k=1,2,…,n$ に対して成り立ちます．これより， $$a_2-a_1=a_3-a_2= \cdots =a_n-a_{n-1}=a_1-a_n$$ が得られます．上の式のすべてを足すと $0$ になります．よって，$a_1=a_2= \cdots =a_n$となりますが，これは矛盾です．以上で題意が示されました．
一見難しい問題も，簡単な事実のみを使って解く場合が多いです．それを意識するかどうかが分かれ目です．
