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問題の説明

整式に関する問題です.$f(x)$ はすべての係数が整数であるような多項式です. $a_1,a_2,...,a_n$ はすべて異なる整数で, $$f(a_1)=a_2, f(a_2)=a_3,\cdots,f(a_{n-1})=a_n, f(a_n)=a_1$$ というようなことが起こりえないことを示すのが今回の問題です.ここで,問題文では便宜上 $a_{n+1}=a_1$ として記述しています.この方が主張をスッキリかけるからです.設定が抽象的かつ一般的なので,難易度が高いです.しかし,逆に一般的な状況に対して述べれることは限られてくるので,方針は限られてきます.

考え方・方針

問題の問い方が「〜でないことを示せ」と否定的な形になっているので,背理法で示すのが順当です.つまり,「〜である」と仮定して,矛盾を導きます.さて,このように仮定したとき,一体どのような矛盾が起こりそうでしょうか.問題文における仮定はたった$2$つしかありません.それは, 「$f(x)$が整数係数多項式である」ことと,「整数$a_1,a_2,...,a_n$が相異なる」ことです.
よって,このどちらかに矛盾することを言えればよいです.

ヒント

今回の問題は最初の手がかりがつかめるかどうかが重要です.整数係数多項式$f(x)$に対して,次のような基本的なことが成り立ちます.

$f(x)$ を整数係数多項式とする.任意の整数$a,b$に対して, $$f(a)-f(b)=(a-b)g(a,b)$$ とかける.ただし $g(a,b)$ は整数.



つまり,$f(a)-f(b)$ は $(a-b)$✕(整数) の形にかけるということです.この(整数)の部分は$a,b$の値によって決まるので, $g(a,b)$ と書いています.上の主張は言われてみれば当たり前のことですが,今回の問題はこの基本的な事実がとても重要です.以下,解説です.

解説

$k=1,2,...,n$に対して, $$a_{k+2}-a_{k+1}=f(a_{k+1})-f(a_{k})=(a_{k+1}-a_{k})g(a_{k+1},a_{k})$$ が成り立ちます.これら $n$ 本の式を辺々かけると, $$g(a_2,a_1)g(a_3,a_2) \cdots g(a_n,a_{n-1})g(a_1,a_n)=1$$ です.ところで,$g(a_{k+1},a_{k})$ $(k=1,2,...,n)$ はすべて整数なので, $$g(a_{k+1},a_{k})=\pm 1$$ ですが,仮に$g(a_{k+1},a_{k})=-1$とすると, $$a_{k+2}-a_{k+1}=-(a_{k+1}-a_{k})$$ より, $$a_{k+2}=a_{k}$$ となります.しかし,$a_1,a_2,...,a_n$ はすべて異なる整数なので,これは矛盾です.よって, $$g(a_{k+1},a_{k})=1$$ が $k=1,2,...,n$ に対して成り立ちます.これより, $$a_2-a_1=a_3-a_2= \cdots =a_n-a_{n-1}=a_1-a_n$$ が得られます.上の式のすべてを足すと $0$ になります.よって,$a_1=a_2= \cdots =a_n$となりますが,これは矛盾です.以上で題意が示されました.


一見難しい問題も,簡単な事実のみを使って解く場合が多いです.それを意識するかどうかが分かれ目です.