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問題の観察

柔軟な発想が求められる問題です.何から手をつけていいのかわからないかもしれませんが,まずはいろいろ実験してみましょう.
与えられた問題より簡単そうな問題を考えたり,極端な例を考えてみることは重要です.

単純化してみる

与えられた問題が難しいくて手がつけられない場合は,より簡単な問題を考えてみましょう.例えば,この問題では$2000$という数字を小さくしてみることが考えられます.
和が$2$となるような正の整数の積の最大値は $$\color{red}{2}=1+1$$ より,$2$です.$3,4,5$のときも同様に考えて, $$\color{red}{3}=1+2=1+1+1$$ $$\color{red}{4}=\color{red}{1+4}=\color{red}{2+2}=1+1+2=1+1+1+1$$ $$5=1+4=\color{red}{2+3}=1+1+3=1+2+2=1+1+1+2=1+1+1+1+1$$ より和が$3,4,5$となるような有限個の整数の積の最大値はそれぞれ$3,4,6$であることがわかります.特に$5$の式に注目してください.重要なことがわかるのですが,それは何でしょう.それは, $$5=2+3<2 \times 3=6$$ となっていることです.これは,もし有限個の整数の中に$5$があれば,それを$2$と$3$で置き換えた方が積が大きくなるということを意味しています.この結果は一般化できます.
すなわち,$n$を$5$以上の整数とすると, $$n<(n-2)2$$ が成り立ちます.よって,有限個の整数の中に$5$以上の整数が使われることはない.

ヒント

上の結果を言い換えると,有限個の整数として使われる整数は$1,2,3,4$のいずれかのみということになります.したがって,積の最大値は$2^a3^b$という形になります.

さらにヒント

あとは$2$と$3$がいくつずつあれば積が最大になるかを考えれば良いです. $$2+2+2=3+3, 2 \times 2 \times 2<3 \times 3$$ なので,$2$が$3$つあるなら,それを$2$つの$3$で置き換えれば和を変えずに積を大きくできます. よって積の最大値は$2^a3^b$ ($a=0,1,2$)となります.
ところで,$2000=3 \times 666+2$なので,積の最大値は$2・3^{666}$となります.


問題が難しい時はより単純な問題を考えてみるとよいです.