ホーム >> 整数 >> 約数の総和公式

約数の総和を求める公式を紹介します.



⇨予備知識


約数の総和公式

自然数 $n$ が与えられたとき,$n$ のすべての約数の総和を求めましょう.たとえば,$6$ のすべての約数は $1,2,3,6$ なので,$6$ の約数の総和は,$1+2+3+6=12$ となります.また,$24$ のすべての約数は $1,2,3,4,6,8,12,24$ なので,$24$ の約数の総和は $1+2+3+4+6+8+12+24=60$ となります.約数の総和を求める最も単純な方法は,$n$ の約数をすべて書き出して,それらをすべて足し合わせればよいです.しかし,この方法は $n$ が大きい数になるとかなり大変です.実は,$n$ の素因数分解を用いて,より簡単に約数の総和を求めることができます.具体的には次の公式が知られています.

約数の総和公式 $1$: 自然数 $n$ が $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ と素因数分解表示されるとき,$n$ の約数の総和は, $$(1+p_1+p_1^2+\cdots +p_1^{\alpha_1})(1+p_2+p_2^2+\cdots +p_2^{\alpha_2})\cdots (1+p_k+p_k^2+\cdots +p_k^{\alpha_k})$$ となる.


・$6$ を素因数分解すると,$6=2\times 3$ である.したがって,$6$ の約数の総和は $(1+2)(1+3)=12.$
・$24$ を素因数分解すると,$24=2^3\times 3$ である.したがって,$24$ の約数の総和は $(1+2+2^2+2^3)(1+3)=60.$
・$36000$ を素因数分解すると,$36000=2^5\times 3^2\times 5^3$ である.したがって,$36000$ の約数の総和は $(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5)(1+3+3^2)(1+5+5^2+5^3)=63\cdot 13 \cdot 156=127764.$

ところで,約数の総和公式の各項は等比数列の和の形になっています.たとえば,$1+p_1+p_1^2+\cdots +p_1^{\alpha_1}$ は初項 $1$,末項 $p_1^{\alpha_1}$,公比 $p_1$ の等比数列の和です.したがって,等比数列の和の公式より,$1+p_1+p_1^2+\cdots +p_1^{\alpha_1}=\frac{p_1^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}$ と計算できます.この事実より,約数の総和公式をさらに簡約化できます.

約数の総和公式 $2$: 自然数 $n$ が $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ と素因数分解表示されるとき,$n$ の約数の総和は, $$\frac{p_1^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\times \frac{p_2^{\alpha_2+1}-1}{p_2-1}\times \cdots \times \frac{p_k^{\alpha_k+1}-1}{p_k-1}$$ となる.

約数の総和公式の導出

$n$ の約数の形と,$(1+p_1+p_1^2+\cdots +p_1^{\alpha_1})(1+p_2+p_2^2+\cdots +p_2^{\alpha_2})\cdots (1+p_k+p_k^2+\cdots +p_k^{\alpha_k})$ を展開した時に現れる項を考えると,約数の総和公式を証明することができます.

証明: 自然数 $n$ が $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ と素因数分解表示されるとする.このとき,$m$ を $n$ の任意の約数とすると,$m=p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\cdots p_k^{\beta_k}$ (各 $i$ に対して,$0\le \beta_i \le \alpha_i$) とかける.一方,$$(1+p_1+p_1^2+\cdots +p_1^{\alpha_1})(1+p_2+p_2^2+\cdots +p_2^{\alpha_2})\cdots (1+p_k+p_k^2+\cdots +p_k^{\alpha_k})$$ を展開すると,$p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\cdots p_k^{\beta_k}$ (各 $i$ に対して,$0\le \beta_i \le \alpha_i$) という形の項がちょうどひとつずつ現れる.したがって,$$(1+p_1+p_1^2+\cdots +p_1^{\alpha_1})(1+p_2+p_2^2+\cdots +p_2^{\alpha_2})\cdots (1+p_k+p_k^2+\cdots +p_k^{\alpha_k})$$ は $n$ の約数の総和と一致する.

練習問題

 $720$ の正の約数の総和を求めよ.

→solution

$720$ を素因数分解すると,$720=2^4\times 3^2\times 5$ であるから,$720$ の正の約数の総和は $$\frac{2^5-1}{2-1}\times \frac{3^3-1}{3-1}\times 6=31\times 13\times 6=2418.$$

 $n$ を自然数とする.$N=2^{n-1}(2^n-1)$ とする.このとき,$2^n-1$ が素数ならば,$N$ の約数の総和は $2N$ であることを示せ.

→solution

$2^n-1$ は奇素数であるから,$2^{n-1}(2^n-1)$ は $N$ の素因数分解である.したがって約数の総和公式より,$N$ の約数の総和は, $$\frac{2^n-1}{2-1}\times (2^n)$$ $$=2^n(2^n-1)=2N.$$

 自然数 $n$ のすべての約数の総和は $2n$ とする.このとき,$n$ のすべての約数の逆数の和を求めよ.

→solution

一般に,$n$ を自然数とすると,($n$ の約数の逆数和)$\times$ $n$ = ($n$ の約数の和) が成り立つ(なぜか考えてみよう). よって,$(n~\text{の約数の逆数和})=(n~\text{の約数の和})/n=2.$