自然数 $n$ が与えられたとき，$n$ のすべての約数の総和を求めましょう．たとえば，$6$ のすべての約数は $1,2,3,6$ なので，$6$ の約数の総和は，$1+2+3+6=12$ となります．また，$24$ のすべての約数は $1,2,3,4,6,8,12,24$ なので，$24$ の約数の総和は $1+2+3+4+6+8+12+24=60$ となります．約数の総和を求める最も単純な方法は，$n$ の約数をすべて書き出して，それらをすべて足し合わせればよいです．しかし，この方法は $n$ が大きい数になるとかなり大変です．実は，$n$ の素因数分解を用いて，より簡単に約数の総和を求めることができます．具体的には次の公式が知られています．
約数の総和公式 $1$： 自然数 $n$ が $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ と素因数分解表示されるとき，$n$ の約数の総和は， $$(1+p_1+p_1^2+\cdots +p_1^{\alpha_1})(1+p_2+p_2^2+\cdots +p_2^{\alpha_2})\cdots (1+p_k+p_k^2+\cdots +p_k^{\alpha_k})$$ となる．
例 ・$6$ を素因数分解すると，$6=2\times 3$ である．したがって，$6$ の約数の総和は $(1+2)(1+3)=12.$ ・$24$ を素因数分解すると，$24=2^3\times 3$ である．したがって，$24$ の約数の総和は $(1+2+2^2+2^3)(1+3)=60.$ ・$36000$ を素因数分解すると，$36000=2^5\times 3^2\times 5^3$ である．したがって，$36000$ の約数の総和は $(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5)(1+3+3^2)(1+5+5^2+5^3)=63\cdot 13 \cdot 156=127764.$
ところで，約数の総和公式の各項は等比数列の和の形になっています．たとえば，$1+p_1+p_1^2+\cdots +p_1^{\alpha_1}$ は初項 $1$，末項 $p_1^{\alpha_1}$，公比 $p_1$ の等比数列の和です．したがって，等比数列の和の公式より，$1+p_1+p_1^2+\cdots +p_1^{\alpha_1}=\frac{p_1^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}$ と計算できます．この事実より，約数の総和公式をさらに簡約化できます．
約数の総和公式 $2$： 自然数 $n$ が $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ と素因数分解表示されるとき，$n$ の約数の総和は， $$\frac{p_1^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\times \frac{p_2^{\alpha_2+1}-1}{p_2-1}\times \cdots \times \frac{p_k^{\alpha_k+1}-1}{p_k-1}$$ となる．
$n$ の約数の形と，$(1+p_1+p_1^2+\cdots +p_1^{\alpha_1})(1+p_2+p_2^2+\cdots +p_2^{\alpha_2})\cdots (1+p_k+p_k^2+\cdots +p_k^{\alpha_k})$ を展開した時に現れる項を考えると，約数の総和公式を証明することができます．
証明： 自然数 $n$ が $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ と素因数分解表示されるとする．このとき，$m$ を $n$ の任意の約数とすると，$m=p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\cdots p_k^{\beta_k}$ (各 $i$ に対して，$0\le \beta_i \le \alpha_i$) とかける．一方，$$(1+p_1+p_1^2+\cdots +p_1^{\alpha_1})(1+p_2+p_2^2+\cdots +p_2^{\alpha_2})\cdots (1+p_k+p_k^2+\cdots +p_k^{\alpha_k})$$ を展開すると，$p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\cdots p_k^{\beta_k}$ (各 $i$ に対して，$0\le \beta_i \le \alpha_i$) という形の項がちょうどひとつずつ現れる．したがって，$$(1+p_1+p_1^2+\cdots +p_1^{\alpha_1})(1+p_2+p_2^2+\cdots +p_2^{\alpha_2})\cdots (1+p_k+p_k^2+\cdots +p_k^{\alpha_k})$$ は $n$ の約数の総和と一致する．
問 $720$ の正の約数の総和を求めよ．
$720$ を素因数分解すると，$720=2^4\times 3^2\times 5$ であるから，$720$ の正の約数の総和は $$\frac{2^5-1}{2-1}\times \frac{3^3-1}{3-1}\times 6=31\times 13\times 6=2418.$$
問 $n$ を自然数とする．$N=2^{n-1}(2^n-1)$ とする．このとき，$2^n-1$ が素数ならば，$N$ の約数の総和は $2N$ であることを示せ．
$2^n-1$ は奇素数であるから，$2^{n-1}(2^n-1)$ は $N$ の素因数分解である．したがって約数の総和公式より，$N$ の約数の総和は， $$\frac{2^n-1}{2-1}\times (2^n)$$ $$=2^n(2^n-1)=2N.$$
問 自然数 $n$ のすべての約数の総和は $2n$ とする．このとき，$n$ のすべての約数の逆数の和を求めよ．
一般に，$n$ を自然数とすると，($n$ の約数の逆数和)$\times$ $n$ = ($n$ の約数の和) が成り立つ(なぜか考えてみよう)． よって，$(n~\text{の約数の逆数和})=(n~\text{の約数の和})/n=2.$
