数列の和から，数列の一般項を求める公式を紹介します．
数列の一般項が与えられたとき，数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めることは基本的です．たとえば，等差数列や等比数列，累乗などに関しては，和の公式がよく知られています．では逆に，数列の和の式が与えられたとき，その一般項を求めることはできるでしょうか.
実はこれは非常に簡単で，どのような数列に対しても，数列の和から一般項を求める公式が知られています．
数列の和と一般項： 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき，次の等式が成り立つ．
$$a_n =S_n-S_{n-1}\ \ (n \ge 2)$$ $$a_1=S_1$$
この公式の意味を一言で説明すると，(第 $n$ 項) = (初項から第 $n$ 項までの和)-(初項から第 $n-1$ 項までの和)ということです．これは考えてみれば当然ですよね．ただし，この等式が成り立つのは $n\ge 2$ のときのみであることに注意する必要があります．別の言い方をすると，第 $2$ 項から先の項に関しては，数列の和の差分で表すことができます．一方で，初項に関しては，当然 $S_1$ と一致しています．したがって，これら $2$ つの等式から $\{a_n\}$ の一般項が完全に求められるのです．
意味を考えれば，この公式が成り立つのは当然ですが，初項だけ別で扱う必要があることには注意してください．
具体的な例題を通して，公式の使い方を説明します．
例題 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n=n^3$ であるとき，この数列の一般項を求めよ．
$(i)$ $n\ge 2$ のとき，$a_n=S_n-S_{n-1}$ なので， $$a_n=n^3-(n-1)^3=n^3-(n^3-3n^2+3n-1)=3n^2-3n+1$$ $(ii)$ $n=1$ のとき，$a_1=S_1=1^3=1$ です．これは $(i)$ において，$n=1$ を代入したものと一致します． 以上，$(i)$,$(ii)$ より，$a_n=3n^2-3n+1$ です．
この例題のように，$a_1$ の値が，$n\ge 2$ で求めた一般項の式に $n=1$ を代入した値と一致する場合は，一般項をまとめて書くことができます．
例題 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n=2^n$ であるとき，この数列の一般項を求めよ．
$(i)$ $n\ge 2$ のとき，$a_n=S_n-S_{n-1}$ なので， $$a_n=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}(2-1)=2^{n-1}$$ $(ii)$ $n=1$ のとき，$a_1=S_1=2^1=2$ です． 以上，$(i)$,$(ii)$ より，$a_1=2,\ a_n=2^{n-1}\ (n\ge 2)$ です．
この例題のように，$a_1$ の値が，$n\ge 2$ で求めた一般項の式に $n=1$ を代入した値と一致しない場合は，一般項は場合わけして書く必要があります．
この節は補足の内容です．先ほどの例題でみたように，最終的に一般項をまとめて書くことができるパターンと，場合分けして書かなければならないパターンの $2$ 通りがありました．どのような時に，まとめて書くことができるのかを少し考察してみましょう． $a_n=S_{n}-S_{n-1}$ の式に，$n=1$ を代入すると，$a_1=S_{1}-S_{0}$ という式を得ます．ただし，$S_n$ は数列の初項から第 $n$ 項までの和という定義だったので，$S_0$ という値は意味をもちません．しかし，代数的には $S_n$ の式に $n=0$ を代入できてしまう場合があります．(たとえば，$S_n=\frac{1}{n}$ などの場合は $n=0$ を代入することはできない) そしてその場合，$S_{0}=0$ であるならば，$a_1=S_1$ となり，一般項をまとめることができます． たとえば，最初の例題では，$S_0=0$ であるので，一般項がまとめることができます．一方，二つ目の例題では $S_0=1$ であるので，一般項は場合分けして書く必要があります．
特に，$S_n$ が $n$ に関する多項式で，定数項が $0$ の場合は，一般項をまとめて書くことができます．
