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数列の和から,数列の一般項を求める公式を紹介します.




数列の和と一般項とは

数列の一般項が与えられたとき,数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めることは基本的です.たとえば,等差数列等比数列累乗などに関しては,和の公式がよく知られています.では逆に,数列の和の式が与えられたとき,その一般項を求めることはできるでしょうか.

実はこれは非常に簡単で,どのような数列に対しても,数列の和から一般項を求める公式が知られています.

数列の和と一般項: 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき,次の等式が成り立つ.
$$a_n =S_n-S_{n-1}\ \ (n \ge 2)$$ $$a_1=S_1$$

この公式の意味を一言で説明すると,(第 $n$ 項) = (初項から第 $n$ 項までの和)-(初項から第 $n-1$ 項までの和)ということです.これは考えてみれば当然ですよね.ただし,この等式が成り立つのは $n\ge 2$ のときのみであることに注意する必要があります.別の言い方をすると,第 $2$ 項から先の項に関しては,数列の和の差分で表すことができます.一方で,初項に関しては,当然 $S_1$ と一致しています.したがって,これら $2$ つの等式から $\{a_n\}$ の一般項が完全に求められるのです.

意味を考えれば,この公式が成り立つのは当然ですが,初項だけ別で扱う必要があることには注意してください.

例題

具体的な例題を通して,公式の使い方を説明します.

例題 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n=n^3$ であるとき,この数列の一般項を求めよ.

$(i)$ $n\ge 2$ のとき,$a_n=S_n-S_{n-1}$ なので, $$a_n=n^3-(n-1)^3=n^3-(n^3-3n^2+3n-1)=3n^2-3n+1$$ $(ii)$ $n=1$ のとき,$a_1=S_1=1^3=1$ です.これは $(i)$ において,$n=1$ を代入したものと一致します.

以上,$(i)$,$(ii)$ より,$a_n=3n^2-3n+1$ です.

この例題のように,$a_1$ の値が,$n\ge 2$ で求めた一般項の式に $n=1$ を代入した値と一致する場合は,一般項をまとめて書くことができます.

例題 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n=2^n$ であるとき,この数列の一般項を求めよ.

$(i)$ $n\ge 2$ のとき,$a_n=S_n-S_{n-1}$ なので, $$a_n=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}(2-1)=2^{n-1}$$ $(ii)$ $n=1$ のとき,$a_1=S_1=2^1=2$ です.

以上,$(i)$,$(ii)$ より,$a_1=2,\ a_n=2^{n-1}\ (n\ge 2)$ です.

この例題のように,$a_1$ の値が,$n\ge 2$ で求めた一般項の式に $n=1$ を代入した値と一致しない場合は,一般項は場合わけして書く必要があります.

場合分け不要の十分条件

この節は補足の内容です.先ほどの例題でみたように,最終的に一般項をまとめて書くことができるパターンと,場合分けして書かなければならないパターンの $2$ 通りがありました.どのような時に,まとめて書くことができるのかを少し考察してみましょう.

$a_n=S_{n}-S_{n-1}$ の式に,$n=1$ を代入すると,$a_1=S_{1}-S_{0}$ という式を得ます.ただし,$S_n$ は数列の初項から第 $n$ 項までの和という定義だったので,$S_0$ という値は意味をもちません.しかし,代数的には $S_n$ の式に $n=0$ を代入できてしまう場合があります.(たとえば,$S_n=\frac{1}{n}$ などの場合は $n=0$ を代入することはできない) そしてその場合,$S_{0}=0$ であるならば,$a_1=S_1$ となり,一般項をまとめることができます.

たとえば,最初の例題では,$S_0=0$ であるので,一般項がまとめることができます.一方,二つ目の例題では $S_0=1$ であるので,一般項は場合分けして書く必要があります.

特に,$S_n$ が $n$ に関する多項式で,定数項が $0$ の場合は,一般項をまとめて書くことができます.