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自然対数の底 $e$ が無理数であることの証明を紹介します.




自然対数の底 $e$ とは

自然対数の底 $e$ とは,つぎの式で定義される値のことです. $$e=\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$ つまり,右辺の極限は収束し,その極限値は $2.718281828459\cdots$ となるので,その値を $e$ と定めるということです.

自然対数の底 $e$ の別表示

$e$ はつぎのように級数で表示することができます. $$e=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots\cdots$$ この等式を $e$ の定義として定める場合もあります.

ここでは,$$e=\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$ と定義し,上の等式が成り立つことを証明してみましょう.

まず,数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ を,$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,b_n=1+1+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{n!}$ と定めます.
示すべきは, $$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n=\lim_{n \rightarrow \infty} b_n$$ です.二項定理より, $$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1+n\cdot\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}+\cdots+\frac{n!}{n!}\frac{1}{n^n}$$ したがって, $$a_n=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)$$ $$< 1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}=b_n$$ ゆえに,$$\boxed{a_n < b_n}$$ が成り立ちます.

つぎに,$n>p$ を満たす自然数 $p$ をひとつとると, $$a_n > 1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{p!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{p-1}{n}\right)$$ が成り立ちます.(この式の右辺は,$a_n$ の各項を左から $p+1$ 項までとったもの.)
この不等式において,$n \rightarrow \infty$ とすると, 左辺は定義から $e$ に収束し,右辺は $b_p$ に収束します.したがって, $$e \ge b_p$$ さらに,上で示したことから, $$e \ge b_p > a_p$$ この不等式において $p \rightarrow \infty$ とすると,はさみうちの原理より, $$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n=\lim_{n \rightarrow \infty} b_n$$ がいえます.

$e$ が無理数であることの証明

さて,上で行った準備を用いて,自然対数の底 $e$ が無理数であることを証明しましょう.

背理法で示します.$e$ が有理数であると仮定すると,互いに素な自然数 $p,q$ を用いて, $$e=\frac{p}{q}$$ とかけます.したがって, $$\frac{p}{q}=1+1+\frac{1}{2!}+\cdots$$ となります.両辺に $q!$ をかけると,ある自然数 $N$ を用いて, $$p\times (q-1)!=N+\color{red}{\underline{\color{black}{\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\frac{1}{(q+1)(q+2)(q+3)}\cdots}}}$$ となります.ここで,赤線部の各項に対して, $$\frac{1}{(q+1)(q+2)} < \frac{1}{(q+1)^2},\frac{1}{(q+1)(q+2)(q+3)} < \frac{1}{(q+1)^3}$$ などが成り立つので, $$\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\frac{1}{(q+1)(q+2)(q+3)}+\cdots < \frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)^2}+\frac{1}{(q+1)^3}+\cdots =\frac{\frac{1}{q+1}}{1-\frac{1}{q+1}}=\frac{1}{q}$$ です.よって, $$N < p\times (q-1)! < N+\frac{1}{q}$$ となりますが,これは $p\times (q-1)!$ が自然数であることに矛盾します.
よって, $e$ は無理数です.