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多項式に関する基本的な用語について紹介します.




単項式

単項式とは,数や文字,あるいはそれらをかけあわせてできる文字式のことです.たとえば,$3,-2a,12xy^2$ などは単項式です.単項式において,数の部分をその単項式の係数といい,かけあわせた文字の個数をその単項式の次数といいます.

たとえば,$12xy^2$ の係数は $12$ であり,その次数は $3$ です.($xy^2=x\times y \times y$ であり,かけわせた文字の個数が $3$ 個なので.)

また,$-3$ や $5$ など,数だけの単項式の次数は $0$ です.ただし,$0$ の次数は考えません.

・単項式 $3abc$ の係数は $3$,次数は $3$
・単項式 $-xy^3$ の係数は $-1$,次数は $4$


$2$ 種類以上の文字を含む単項式では,特定の文字だけに着目して,その係数や次数を考えることがよくあります.たとえば,単項式 $3xy^2z$ の係数は $3$,次数は $4$ ですが,これを $x$ に着目して考えると,係数は $3y^2z$,次数は $1$ です.(つまり,$3xy^2z=3y^2z\times x$ と考える.)

単項式 $-2ax^2y$ を考える.
・$x$ に着目すると,係数は $-2ay$,次数は $2$
・$y$ に着目すると,係数は $-2ax^2$,次数は $1$
・$x,y$ に着目すると,係数は $-2a$,次数は $3$

多項式

多項式とは,単項式の有限個の和として表される式のことです.たとえば,$3x^3+2x^2+1,2x^2+xy-y^2$ などです.多項式のことを整式ともいいます.
多項式のひとつひとつの単項式のことを,項といいます.特に,文字を含まない項のことを,定数項といいます.

単項式は,項がひとつの多項式であると考えることができます.

・多項式であるもの
$$0,\ -4,\ 2x,\ a^2+4a+2,\ xy^2-y+2\ \mbox{など}$$ ・多項式でないもの
$$\frac{1}{x},\ |x|,\ \sqrt{x^2+1},\ 2^x,\ \sin x\ \mbox{など}$$


多項式の項のうち,文字の部分が次数も含めて同じ項を同類項といいます.同類項はひとつにまとめて整理することができます.

・多項式 $3x^3+x^2-2x^3+4x-5+2x$ の同類項をまとめると, $$x^3+x^2+6x-5$$ ・多項式 $2x^2y^2-x^2y+xy^2+2x^2y+4xy^2$ の同類項をまとめると, $$2x^2y^2+x^2y+5xy^2$$

多項式の次数

同類項をまとめた多項式において,最も次数の高い項の次数をその多項式の次数といいます.また,次数が $n$ の多項式を $n$ 次多項式,または $n$ 次式といいます.

・多項式 $x^3+2x-4$ の次数は $3$ なので,これは $3$ 次式.

・多項式 $xy^4-2x^2y^3+x^2-y+1$ の次数は $5$ なので,これは $5$ 次式.

・多項式 $2x^3-x^2-x^3+4-x^3$ は一見 $3$ 次式のように見えるが,同類項をまとめると,$-x^2+4$ となるので,これは $2$ 次式.

$2$ 種類以上の文字を含む多項式でも,特定の文字だけに着目して係数や次数を考えることがあります.この場合,着目した文字を含まない項 (あるいは項の和) が定数項であると考えます.

多項式 $xy^2+2ay-b$ を考える.
・$x$ に着目すると,次数は $1$,定数項は $2ay-b$
・$y$ に着目すると,次数は $2$,定数項は $-b$
・$x,y$ に着目すると,次数は $3$,定数項は $-b$

降べきの順と昇べきの順

多項式は,ある文字に着目して各項の次数が低くなる順に整理することが多いです.これを,降べきの順に整理するといいます.(次数が降りていく順です.)

逆に,各項の次数が高くなる順に整理することを,昇べきの順に整理するといいます.(次数が昇っていく順です.)

・多項式 $x^2-2x+3x^4+5$ を降べきの順に整理すると, $$3x^4+x^2-2x+5$$ また,昇べきの順に整理すると, $$5-2x+x^2+3x^4$$
・多項式 $2x^2y+xy+x^2-y^2+x-4$ を $x$ について降べきの順に整理すると, $$(2y+1)x^2+(y+1)x-y^2-4$$ 一方,$y$ について降べきの順に整理すると, $$-y^2+(2x^2+x)y+x^2+x-4$$