二重根号とは，根号のなかに根号がある式のことを言います． たとえば， $$\sqrt{5+2\sqrt{6}} \sqrt{4+\sqrt{3}}$$ などが二重根号です． これらの式の中には，二重根号がはずれて，より簡単な式になるものがあります． たとえば，先の式 $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ は， $$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$$ と計算できて，根号をはずすことができます．（なぜこのように計算できるかは，すぐに説明します．） ところが，$\sqrt{4+\sqrt{3}}$ はどう計算しても二重根号をはずすことはできません． 以下では，二重根号がはずせるものについて，その外し方を紹介します．
使うのは次の公式です．
二重根号の公式： $$\large \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$$ $$\large\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$$ ただし，$2$ 番目の式では，$a>b$ とする．
証明： $$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+2\sqrt{ab}+b=(a+b)+2\sqrt{ab}$$ となり，$\sqrt{a}+\sqrt{b} >0$ なので， $$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$$ また， $$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a-2\sqrt{ab}+b=(a+b)-2\sqrt{ab}$$ となり，$\sqrt{a}>\sqrt{b}$ なので，$\sqrt{a}-\sqrt{b}>0$.よって， $$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$$
上の公式を用いて，実際に計算してみましょう．
例 $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ の二重根号をはずせ．
まず，足して $5$ になり，かけて $6$ になる二つの数を考えます．$2$ と $3$ が条件を満たします．したがって公式を用いると， $$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{2+3+2\sqrt{2\times 3}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$$ となります．
例 $\sqrt{7-2\sqrt{12}}$ の二重根号をはずせ．
まず，足して $7$ になり，かけて $12$ になる二つの数を考えます．$4$ と $3$ が条件を満たします．したがって公式を用いると， $$\sqrt{7-2\sqrt{12}}=\sqrt{4+3+2\sqrt{4\times 3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$$ となります．ここで，注意しなければならないのは，最後の答えを $\sqrt{3}-\sqrt{4}$ としてはいけないということです．
なぜなら，最初の式 $\sqrt{7-2\sqrt{12}}$ は正の数なので，最後の式も正にならなければなりません．
例 $\sqrt{8+\sqrt{15}}$ の二重根号をはずせ．
この式は，$\sqrt{\bigcirc＋2\sqrt{\Box}}$ の形になっていないので，いきなり公式を使うことができません．
このような場合は，無理やり $2$ をつくりだせばよいです．つまり，$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけて， $$\sqrt{8+\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{8+\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{16+2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}$$ ここで，足して $16$ になり，かけて $15$ になる数を考えると，$15$ と $1$ が条件を満たすので， $$\frac{\sqrt{16+2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{15}+1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{2}$$ 結局， $$\sqrt{8+\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{2}$$ となります．
検算
求めた答えが正しいかどうかは，両辺を $2$ 乗すればすぐに確認できます．
上でみたように，$\sqrt{\bigcirc＋2\sqrt{\Box}}$ の二重根号をはずすときは，足して $\bigcirc$ になり，かけて $\Box$ になる二つの数を考えました．$\bigcirc$ や $\Box$ の数が小さいときは，頭の中で考えることができますが，たとえば， $$\sqrt{24+2\sqrt{143}}$$ のように，わりと大きい数の場合に暗算で探すのは時間がかかります．このようなときに有効な方法として，$2$ 次方程式を利用する方法があります．
$2$ 次方程式 $x^2-Ax+B=0$ の $2$ つの解を $a,b$ とすると，解と係数の関係より， $$a+b=A ，ab=B$$ となります．つまり，$a,b$ は足して $A$ となり，かけて $B$ となる二つの数です．このことを利用して大きな数の二重根号をはずしてみましょう．
例 $\sqrt{24+2\sqrt{143}}$ の二重根号をはずせ．
$2$ 次方程式 $x^2-24x+143=0$ を考える． $$x^2-24x+143=(x-11)(x-13)=0$$ なので，解は $x=11,13$ したがって， $$\sqrt{24+2\sqrt{143}}=\sqrt{13}+\sqrt{11}$$
例 $\sqrt{32-\sqrt{988}}$ の二重根号をはずせ．
まず， $$\sqrt{32-\sqrt{988}}=\sqrt{32-2\sqrt{247}}$$ となる．つぎに，$2$ 次方程式 $x^2-32x+247=0$ を考える． $$x^2-32x+247=(x-13)(x-19)=0$$ なので，解は $x=13,19．$ したがって， $$\sqrt{32-\sqrt{988}}=\sqrt{19}-\sqrt{13}$$
