ホーム >> 数と式 >> 二重根号の外し方




二重根号の外し方

二重根号とは,根号のなかに根号がある式のことを言います.
たとえば, $$\sqrt{5+2\sqrt{6}} \sqrt{4+\sqrt{3}}$$ などが二重根号です.

これらの式の中には,二重根号がはずれて,より簡単な式になるものがあります.
たとえば,先の式 $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ は, $$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$$ と計算できて,根号をはずすことができます.(なぜこのように計算できるかは,すぐに説明します.)
ところが,$\sqrt{4+\sqrt{3}}$ はどう計算しても二重根号をはずすことはできません.
以下では,二重根号がはずせるものについて,その外し方を紹介します.

使うのは次の公式です.

二重根号の公式: $$\large \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$$ $$\large\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$$ ただし,$2$ 番目の式では,$a>b$ とする.

証明: $$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+2\sqrt{ab}+b=(a+b)+2\sqrt{ab}$$ となり,$\sqrt{a}+\sqrt{b} >0$ なので, $$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$$ また, $$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a-2\sqrt{ab}+b=(a+b)-2\sqrt{ab}$$ となり,$\sqrt{a}>\sqrt{b}$ なので,$\sqrt{a}-\sqrt{b}>0$.よって, $$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$$


具体例の計算

上の公式を用いて,実際に計算してみましょう.

 $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ の二重根号をはずせ.

まず,足して $5$ になり,かけて $6$ になる二つの数を考えます.$2$ と $3$ が条件を満たします.したがって公式を用いると, $$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{2+3+2\sqrt{2\times 3}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$$ となります.

 $\sqrt{7-2\sqrt{12}}$ の二重根号をはずせ.

まず,足して $7$ になり,かけて $12$ になる二つの数を考えます.$4$ と $3$ が条件を満たします.したがって公式を用いると, $$\sqrt{7-2\sqrt{12}}=\sqrt{4+3+2\sqrt{4\times 3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$$ となります.ここで,注意しなければならないのは,最後の答えを $\sqrt{3}-\sqrt{4}$ としてはいけないということです.
なぜなら,最初の式 $\sqrt{7-2\sqrt{12}}$ は正の数なので,最後の式も正にならなければなりません.

 $\sqrt{8+\sqrt{15}}$ の二重根号をはずせ.

この式は,$\sqrt{\bigcirc+2\sqrt{\Box}}$ の形になっていないので,いきなり公式を使うことができません.
このような場合は,無理やり $2$ をつくりだせばよいです.つまり,$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけて, $$\sqrt{8+\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{8+\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{16+2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}$$ ここで,足して $16$ になり,かけて $15$ になる数を考えると,$15$ と $1$ が条件を満たすので, $$\frac{\sqrt{16+2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{15}+1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{2}$$ 結局, $$\sqrt{8+\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{2}$$ となります.

検算

求めた答えが正しいかどうかは,両辺を $2$ 乗すればすぐに確認できます.

2次方程式を用いる方法

上でみたように,$\sqrt{\bigcirc+2\sqrt{\Box}}$ の二重根号をはずすときは,足して $\bigcirc$ になり,かけて $\Box$ になる二つの数を考えました.$\bigcirc$ や $\Box$ の数が小さいときは,頭の中で考えることができますが,たとえば, $$\sqrt{24+2\sqrt{143}}$$ のように,わりと大きい数の場合に暗算で探すのは時間がかかります.このようなときに有効な方法として,$2$ 次方程式を利用する方法があります.

$2$ 次方程式 $x^2-Ax+B=0$ の $2$ つの解を $a,b$ とすると,解と係数の関係より, $$a+b=A ,ab=B$$ となります.つまり,$a,b$ は足して $A$ となり,かけて $B$ となる二つの数です.このことを利用して大きな数の二重根号をはずしてみましょう.

 $\sqrt{24+2\sqrt{143}}$ の二重根号をはずせ.

$2$ 次方程式 $x^2-24x+143=0$ を考える. $$x^2-24x+143=(x-11)(x-13)=0$$ なので,解は $x=11,13$ したがって, $$\sqrt{24+2\sqrt{143}}=\sqrt{13}+\sqrt{11}$$

 $\sqrt{32-\sqrt{988}}$ の二重根号をはずせ.

まず, $$\sqrt{32-\sqrt{988}}=\sqrt{32-2\sqrt{247}}$$ となる.つぎに,$2$ 次方程式 $x^2-32x+247=0$ を考える. $$x^2-32x+247=(x-13)(x-19)=0$$ なので,解は $x=13,19.$ したがって, $$\sqrt{32-\sqrt{988}}=\sqrt{19}-\sqrt{13}$$