ホーム >> 数列 >> 階差数列を用いて一般項を求める方法

階差数列を用いてもとの数列の一般項を求める方法を紹介します.簡単な原理に基づいていて,結構使用頻度が多いので,ぜひマスターしましょう.




階差数列とは

与えられた数列の一般項を求める方法として,隣り合う $2$ つの項の差をとって順に並べた数列を考える方法があります.

数列 $\{a_n\}$ の隣り合う $2$ つの項の差 $$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,2,3,\cdots)$$ を項とする数列 $\{b_n\}$ を,数列 $\{a_n\}$ の階差数列といいます.

階差数列

つまり,数列が $$3,10,21,36,55,78,\cdots$$ というように与えられたとします.この数列がどのような規則にしたがって並べられているのか,一見しただけではよくわかりません.そこで,この数列の階差数列を考えると,それは, $$7,11,15,19,23,\cdots$$ と等差数列になります.したがって一般項が簡単に求められます.そして,この一般項を使って,元の数列の一般項を求めることができるのです.

まとめると,階差数列の一般項がわかればもとの数列の一般項がわかるということです.

階差数列と一般項

実際に,階差数列の一般項から元の数列の一般項を求める公式を導いてみましょう.

数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると, $$b_1=a_2-a_1$$ $$b_2=a_3-a_2$$ $$b_3=a_4-a_3$$ $$\vdots$$ $$b_{n-1}=a_n-a_{n-1}$$ これら $n-1$ 個の等式の辺々を足すと,$n \ge 2$ のとき, $$b_1+b_2+\cdots+b_{n-1}=a_n-a_1$$ となります.したがって,次のことが成り立ちます.

階差数列と一般項: 数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると,$n \ge 2$ のとき, $$\large a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k$$ が成り立つ.

これは,階差数列の一般項から,元の数列の一般項を求める公式です.


注意点

・$b_n$ の和は $1$ から $n$ までではなく,$1$ から $n-1$ までです.

・この公式は $n \ge 2$ という制約のもとで $a_n$ を求めていますので,$n=1$ のときは別でチェックしなければいけません.ただし,高校数学で現れる大抵の数列 (ひねくれていない素直な数列) は,$n=1$ のときも成り立ちます.それでも答案で記述するときには,必ず $n \ge 2$ のときで公式を用いて $n=1$ のときは別でチェックするという風にするべきです.それは,自分はこの公式が $n \ge 2$ という制約のもとでしか使用できないことをきちんと知っていますよ!と採点者にアピールするという側面もあるのです.

階差数列を使う例題

実際に階差数列を用いて数列の一般項を求めてみましょう.もちろん,階差数列をとってみるという方法はひとつの指針であって,なんでもかんでも階差数列で解決するわけではないです.しかし,階差数列を計算することは簡単にできることなので,とりあえず階差をとってみようとなるわけです.

階差数列が等差数列となるパターン

 次の数列の一般項を求めよ. $$3,7,13,21,31,43,57,\cdots$$

→solution

階差数列 $\{b_n\}$ は $4,6,8,10,12,14,\cdots$ です.これは,初項 $4$,公差 $2$ の等差数列です.したがって,$b_n$ の一般項は,$b_n=2n+2$ です.ゆえに,もとの数列 $\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=3+\sum_{k=1}^{n-1} (2k+2) $$ $$=3+n(n-1)+2(n-1)=n^2+n+1$$ となります.これは $n=1$ のときも成立するので,求める数列の一般項は,$n^2+n+1$ です.

階差数列が等比数列となるパターン

 次の数列の一般項を求めよ. $$2,5,11,23,47,95,191,\cdots$$

→solution

階差数列 $\{b_n\}$ は $3,6,12,24,48,96,\cdots$ です.これは,初項 $3$,公比 $2$ の等比数列です.したがって,$b_n$ の一般項は,$b_n=3\cdot2^{n-1}$ です.ゆえに,もとの数列 $\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=2+\sum_{k=1}^{n-1} 3\cdot2^{k-1} $$ $$=2+\frac{3(2^{n-1}-1)}{2-1}=3\cdot2^{n-1}-1$$ となります.これは $n=1$ のときも成立するので,求める数列の一般項は,$3\cdot2^{n-1}-1$ です.

$2$ 回階差をとるパターン

 次の数列の一般項を求めよ. $$2,12,36,80,130,252,392,\cdots$$

→solution

与えられた数列を $\{a_n\}$ とします.その階差数列 $\{b_n\}$ は $$10,24,44,70,102,140,\cdots$$ ですが,これではまだ規則性が見えてきません.そこで,もう一度階差をとってみます.$\{b_n\}$ の階差数列 $\{c_n\}$ は, $$14,20,26,32,38,\cdots$$ です.これは,初項 $14$,公差 $6$ の等差数列です.したがって,$\{c_n\}$ の一般項は $c_n=6n+8$ です.ゆえに,$\{b_n\}$ の一般項は $n \ge 2$ のとき, $$b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1} c_n=10+\sum_{k=1}^{n-1} (6k+8)=10+3n(n-1)+8(n-1)=3n^2+5n+2$$ です.$b_1=10$ なのでこれは $n=1$ のときも成立します.したがって,$b_n=3n^2+5n+2$ です.ゆえに,$\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=2+\sum_{k=1}^{n-1} (3n^2+5n+2)=2+\frac{1}{2}n(n-1)(2n-1)+\frac{5}{2}n(n-1)+2(n-1)$$ $$=n^2(n+1)$$ です.$a_1=2$ なので,これは $n=1$ のときも成立します.よって,求める数列の一般項は, $$n^2(n+1)$$ となります.