絶対不等式のうち，最も重要な相加相乗平均の不等式について解説します．
相加相乗平均の不等式： $n$ 個の実数 $x_1,x_2,…,x_n$ がすべて $0$ 以上のとき，次の不等式が成り立つ． $$\large \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$$ 等号成立条件は，$x_1=x_2=\cdots=x_n$ のときである．
不等式の左辺は $n$ 個の実数の和を $n$ で割ったもので，相加平均(または算術平均)と呼ばれます．通常，単に平均という場合は相加平均を意味していることが多いです．一方，右辺は $n$ 個の実数の積の $n$ 乗根で，相乗平均(または幾何平均)と呼ばれます．
つまり，不等式の主張は，相加平均は常に相乗平均以上であるということです．また，この不等式が等号となるのは $x_1=x_2=\cdots=x_n$ のときに限ります． 相加相乗平均を用いるときの注意点は，平均をとる $n$ 個の実数がすべて $0$ 以上でなければ使えないということです．
・$n=1$ のとき 不等式は $x_1 \ge x_1$ となるのでこれが成り立つのは明らかです． ・$n=2$ のとき
与えられた不等式は $$\frac{x_1+x_2}{2} \ge \sqrt{x_1x_2}$$ となります．$n=2$ の場合は特によく用いられるので重要です．
$n=2$ の場合の相加相乗平均の不等式を証明します．これは簡単に示すことができます．
$x_1 \ge 0,x_2 \ge 0$ とします．このとき， $$\left(\frac{x_1+x_2}{2} \right)^2 -(\sqrt{x_1x_2})^2=\frac{1}{4}(x_1-x_2)^2 \ge 0$$ であり，$\frac{x_1+x_2}{2} \ge 0,\sqrt{x_1x_2} \ge 0$ なので， $$\frac{x_1+x_2}{2} \ge \sqrt{x_1x_2}$$ です．
一般の $n$ の場合については，様々な証明方法が知られています．ここでは数学的帰納法を用いる方法を紹介します．少し証明が入り組んでいるのですが，使っていることは基本的な不等式の知識のみです．
証明： 数学的帰納法で示す． まず，$n=1$ のとき，(左辺)=(右辺)となるので不等式が成り立つことは明らか． つぎに，$n$ 個の場合について，相加相乗平均の不等式が成り立っていると仮定して，$0$ 以上の実数 $x_1,x_2,\cdots,x_{n+1}$ について， $$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n+x_{n+1}}{n+1} \ge \sqrt[n+1]{x_1x_2\cdots x_nx_{n+1}}$$ が成り立つことを示す． (1) $x_1=x_2=\cdots=x_n=x_{n+1}$ のとき: 明らかに (左辺)＝(右辺) なので，この場合はOK． (2) $x_1,x_2,\cdots,x_{n+1}$ のうち，$0$ であるものがひとつ以上あるとき: $(右辺)=0 $ となりこの場合もOK． (3) (1),(2) 以外のとき，すなわち，$x_1,x_2,\cdots,x_{n+1}$ がすべて等しくはない正の実数のとき: $$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n+x_{n+1}}{n+1} > \sqrt[n+1]{x_1x_2\cdots x_nx_{n+1}}$$ を示せばよい． さて，いま，$x_1=x_2=\cdots=x_n=x_{n+1}$ ではないので， $$\alpha=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n+x_{n+1}}{n+1}$$ とおくと，$x_1,x_2,\cdots,x_n,x_{n+1}$ のうち，$\alpha$ より小さいものと，$\alpha$ より大きいものが少なくとも一つずつある$^{(*)}$．必要ならば添字をつけかえることによって，$x_n > \alpha,x_{n+1} < \alpha$ としてよい．
ここで，$y=x_n+x_{n+1}-\alpha$ とおくと，$y \ge x_n-\alpha >0$ . $$n\alpha=x_1+x_2+\cdots+x_{n_1}+x_n+x_{n+1}-\alpha$$ $$=x_1+x_2+\cdots+x_{n-1}+y$$ なので， $x_1,x_2,\cdots,x_{n-1},y$ の $n$ 個の実数に相加相乗平均の不等式を用いると，$\alpha^n \ge x_1x_2\cdots x_{n-1}y$ となる．したがって， $$\alpha^{n+1}=\alpha\alpha^n \ge x_1x_2\cdots x_{n-1}y\alpha$$ さらに， $$y\alpha-x_nx_{n+1}=(x_n+x_{n+1}-\alpha)\alpha-x_nx_{n+1}$$ $$=(x_n-\alpha)(\alpha-x_{n+1}) >0$$ なので，$x_1,x_2,\cdots,x_{n-1}$ はすべて正より $$x_1x_2\cdots x_{n-1}y\alpha >x_1x_2\cdots x_nx_{n+1}$$ 結局，以下の不等式が成り立つ． $$\alpha^{n+1} >x_1x_2\cdots x_nx_{n+1}$$ よって，数学的帰納法より，すべての $n$ に対して 相加相乗平均の不等式が成り立つ．
($*$) について： $x_1,\cdots,x_{n+1}$ について，$x_1=x_2=\cdots=x_{n+1}$ ではないとき，仮に $x_1,x_2,\cdots,x_{n+1}$ がすべて $\alpha$ 以下であれば， $$\alpha=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n+x_{n+1}}{n+1} \le \frac{(n+1)\alpha}{n+1}=\alpha$$ となりますが，この等号が成立するのは $x_1=x_2=\cdots=x_{n+1}$ のときなので仮定より $\alpha < \alpha$ となり矛盾します．同様に，$x_1,x_2,\cdots,x_{n+1}$ がすべて $\alpha$ 以上としても矛盾します．よって，$x_1,x_2,\cdots,x_{n+1}$ のうち，$\alpha$ より小さいものと，$\alpha$ より大きいものが少なくとも一つずつあることになります．
