ホーム >> 集合・論理 >> 命題の否定の考え方

様々な命題,条件の否定を考えてみましょう.否定は,直感的に考えている人が多いですが,注意深く考えないと思わぬところで間違えてしまいます.




命題と否定

式や文章で表された事柄で,正しいか,正しくないかが,明確に決まるものを命題と呼びます.命題の主張が正しいとき,その命題は真であるといい,正しくないとき,その命題は偽であるといいます.文字 $x$ を含んだ文や式において,文字のとる値によって,命題の真偽が変わる場合があります.たとえば,『$x$ は正の数である.』という命題は,$x$ が $1$ のときは真ですが,$-2$ のときは偽です.このように文字 $x$ を含む文や式のことを $x$ に関する条件といいます.命題や条件について,その否定を考えてみましょう.条件 $p$ の否定を $\bar{p}$ と表します.

否定を用いる証明法

命題の否定を考えるのは主に,証明を行う場合です.大学入試などで,ある命題の否定を直接問われることはほとんどないですが,ある命題を証明する場合,暗に否定の考え方が用いられることがあります. 否定を用いる代表的な証明法に,背理法対偶証明法があります.これらは数学では非常に頻繁に使われる重要な証明法なので,その土台である"否定"をきちんと理解していなければなりません.

背理法は,ある命題 $P$ を証明する際,$P$ でないと仮定して,矛盾を導くことで証明する間接証明法の一種です.この際,『$P$ でない』,すなわち $P$ の否定が何なのかわかっていないと,背理法が使えません.例として,次のような典型的な問題があります.

 $a,b$ を有理数とする. $$a+\sqrt{3}b=0$$ ならば,$a=b=0$ であることを示せ.

この問題を背理法で解こうとすると,条件 『$a=b=0$』 の否定を考えることになります.『$a=b=0$』 の否定は『$a \neq 0$ または $b \neq 0$』です.これを,何も考えずに 『$a \neq b \neq 0$』 としないように注意してください. 『$a=b=0$』というのは言い換えれば 『$a=0$ かつ $b=0$』です.したがって,この否定は『$a \neq 0$ または $b \neq 0$』となります.

対偶証明法は,ある命題 『$p ⇒ q$』 を証明する際,代わりにその命題の対偶をとって,$\bar{q} ⇒ \bar{p}$ を証明する間接証明法の一種です.この場合も対偶をとる時に,$p$ と $q$ の否定が出てくるので,これらが何なのかわかっていないと,対偶証明法が使えません.例として,次のような典型的な問題があります.

 $m,n$ を自然数とする.$m,n$ が互いに素ならば,$m+n,n$ も互いに素であることを示せ.

互いに素というのは,言い換えれば『共通の素因数を持たない』という否定的な言葉 (否定語) なので,それを否定して肯定的な言葉に変えた方が扱いやすいです.ここでも,『互いに素』の否定が,『共通の素因数をもつ』と変換できなければ,対偶証明法を使って証明できないのです.

『かつ』『または』の否定

『かつ』や,『または』という言葉が含まれる命題や条件の否定は,『かつ』と,『または』が入れ替わります.

$\underline{Example}$ $x,y$ は実数,$n$ は自然数とする.
・『$x > 0$ かつ $y \le 2$』の否定は,『$x \le 0$ または $y >2$』
・『$n$ が偶数または $n$ が $3$ の倍数』の否定は,『$n$ が奇数かつ $n$ が $3$ の倍数でない』

また,つぎの例のように,条件式中に暗に『かつ』や『または』の意味合いが含まれている場合もあります.

$\underline{Example}$ $x,y,a,b,c$ は実数とする.
・『$-1 < x \le 3$』の否定は,『$x \le -1$ または $x >3$』
・『$a=b=c=0$』の否定は,『$a \neq 0$ または $b \neq 0$ または $c \neq 0$』
・『$xy=0$』の否定は,『$x \neq 0$ かつ $y \neq 0$』

$-1 < x \le 3$ とは,$x > -1$ かつ $x \le 3$ のことです.
$a=b=c=0$ とは,$a=0$ かつ $b=0$ かつ $c=0$ のことです.
$xy=0$ は,$x=0$ または $y=0$ と同値です.

このように,日頃何気なく使っている式の厳密な意味を意識することが大切です.

『すべて』『ある』の否定

『すべて』や『ある』などの言葉が含まれる命題の否定は間違えやすいので注意が必要です.
『すべて』や,『ある』という言葉が含まれる命題や条件の否定は,『ある』と,『すべて』が入れ替わります.
わかりやすい例としては,表裏のあるコインがテーブルの上にたくさん置かれているとき, 『すべてのコインが裏である』という命題の否定は『あるコインが表である』です. さて,たとえばよくやる間違いとして,

『すべての実数 $x$ について $x^2 > 0$』

という命題 (ちなみにこの命題は偽です) の否定を

『すべての実数 $x$ について $x^2 \le 0$』

とする人が時々います.これは間違いです.単純に結論を否定したものは命題の否定にはなりません.重要なことは,ある命題の否定とは,その命題以外のすべての状況を表しているということです.上の命題でいえば,ひとつでも $x^2 \le 0$ となるような $x$ があれば,『すべての実数 $x$ について $x^2 \le 0$』が成り立ちません.よって,命題の否定は,『ある実数 $x$ について $x^2 \le 0$』です.

『ならば』の否定

命題に,『ならば』という言葉が含まれているときの否定が最もわかりにくいです.
命題『$p$⇒$q$』の否定は,『$p$ であって $q$でないものがある』です.『$p$⇒$q$』というのは,より詳しく言い換えれば,条件 $p$ が成り立つときはいつでも条件 $q$ が成り立つということです.したがってこれを否定すると,条件 $p$ は成り立つのに条件 $q$ が成り立たないものが存在するということになります.

$\underline{Example}$ $x,y$ は実数,$n$ は自然数とする.
・『$n^2$ が奇数ならば $n$ が奇数』の否定は『$n^2$ が奇数であって,$n$ が偶数であるようなものがある』
・『$x^2+y^2=0$ ならば $x=y=0$』の否定は,『$x^2+y^2=0$ であって,$x \neq 0$ または $y \neq 0$ である実数 $x,y$ がある.』


人の発言をなんでもかんでも否定する人は嫌われますよね.