平方完成とは，$2$ 次方程式 $ax^2+bx+c$ を式変形して，$a(x+p)^2+q$ という形にすることです．たとえば，$2$ 次方程式 $x^2+4x+1$ を平方完成すると，$(x+2)^2-3$ となり，$-2x^2+3x-1$ を平方完成すると，$-2\left(x-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{1}{8}$ となります．
与えられた $2$ 次方程式をすばやく平方完成できるようになりましょう．
まず，$x^2$ の係数が $1$ のときの平方完成のやり方を覚えましょう． 例として，$x^2+6x+2$ を平方完成してみます．
手順 $1$: $x$ の係数を $2$ で割った数 (これを $p$ とする) を考える．
例の場合，$x$ の係数は $6$ ですから，これを $2$ で割った数は $3$ です．つまり，$p=3$ です．
手順 $2$: $(x+p)^2$ を書く．
$(x+3)^2$ をまず書きます．ところがこのままでは定数項が合っていないので，定数項を調整することを考えます．
手順 $3$: $(x+p)^2$ の定数項 $p^2$ と元の式の定数項を比較して，調整する．
例の場合，$(x+3)^2$ の定数項は $9$ です．そして，元の式 $x^2+6x+2$ の定数項は $2$ です．つまり，$(x+3)^2$ から $7$ 引けば元の式になるので，$(x+3)^2-7$ が元の式を平方完成した結果となります． 平方完成をすばやく行うポイントは，手順 $2$ の部分です．手順 $1$ はだれでも数秒でできます．手順 $1$ のあとすぐに，$(x+p)^2$ という形を書きます．この形を書いてから定数項を調整することを考えると，すばやく平方完成することができます．
$x$ の係数が負の数の場合も同じです． 例として，$x^2-3x+1$ を平方完成してみます．
手順 $1$: $x$ の係数を $2$ で割った数は $-\frac{3}{2}$ です． 手順 $2$: $\left(x-\frac{3}{2}\right)^2$ と書きます．
手順 $3$: $\left(x-\frac{3}{2}\right)^2$ の定数項は $\frac{9}{4}$ です．一方，元の式の定数項は $1$ です．よって，$\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{5}{4}$ とすれば，元の式になります．
$x^2$ の係数が $1$ でない場合の平方完成をしてみましょう．基本的には，$x^2$ の係数が $1$ である場合と同じです．例として，$3x^2+2x+1$ を平方完成してみましょう．
手順 $0$: $x^2$ の係数で，$x^2$ と $x$ の項をくくる．
$x^2$ の係数は $3$ です．したがって， $$3x^2+2x+1=3\left(x^2+\frac{2x}{3}\right)+1$$ です．$3$ で $x^2$ と $x$ の項をくくりました．カッコの中だけみれば，これはまるで $x^2$ の係数が $1$ であるように見えます．したがって，カッコの中に $x^2$ の係数が $1$ のときの手順を適用すればよいのです．
手順 $1$: カッコの中の $x$ の係数を $2$ で割った数 (これを $p$ とする) を考える．
カッコの中の $x$ の係数を $2$ で割った数は，$\frac{1}{3}$ です．
手順 $2$: $a(x+p)^2$ を書く．
$3\left(x+\frac{1}{3}\right)^2$ を書きます．
手順 $3$: $a(x+p)^2$ の定数項 $ap^2$ と元の式の定数項を比較して，調整する．
$3\left(x+\frac{1}{3}\right)^2$ の定数項は $\frac{1}{3}$ です．一方，元の式 $3x^2+2x+1$ の定数項は $1$ です．したがって，$3\left(x+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3}$ とすれば元の式と一致します．これで平方完成できました．
一般に，$2$ 次方程式 $ax^2+bx+c (a \neq 0)$ を平方完成すると， $$ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}$$ となります．右辺を展開すれば，確かにこの等式が正しいことが確かめられます．この結果は全く覚える必要はありませんが，上で述べた手順はこの等式が元となっています．
平方完成は二次関数の最大・最小問題や，不等式の証明問題等，幅広く用いられる汎用性の高い式変形です．
