Uncategorized Youngの不等式|思考力を鍛える数学 ・対数の底が $e$ のとき,$\log_e$ と書かずに $\ln$ と書きます.(これはかなり一般的な用法です) つまり,$\ln a$ は $\log_e a$ のことです. ・ 指数関数の性質 $$a=e^{\ln a} (a&... 2021.05.08 Uncategorized
Uncategorized カタラン数のいろいろな例|思考力を鍛える数学 ホーム >> 場合の数 >> カタラン数のいろいろな例 2018/6/9 場合の数 カタラン数が関連する組合せ問題の例をいくつか紹介します. ⇨予備知識 カタラン数の定義と性質については,別記事→カタラン数の... 2021.05.08 Uncategorized
Uncategorized ピタゴラス数|思考力を鍛える数学 三平方の定理を満たす自然数の組について考察します. $a^2+b^2=c^2$ を満たす自然数の組 $(a,b,c)$ をピタゴラス数といいます.たとえば,$3^2+4^2=5^2,5^2+12^2=13^2$ なので,$(3,4,5),(... 2021.05.08 Uncategorized
Uncategorized 直角三角形にはめこまれた2つの正方形|思考力を鍛える数学 正方形 $X$ は辺 $AC,CB$ と辺を共有しており,辺 $AB$ と接しています.また,正方形 $Y$ は辺 $AB$ と辺を共有しており,辺 $AC,BC$ と接しています.$X,Y$ の面積の情報のみから,$△ABC$ の面積を... 2021.05.08 Uncategorized
Uncategorized 二等辺三角形と二等分線|思考力を鍛える数学 初等的な求角問題です.中学数学の知識で解けますが,発想力がそれなりに必要です.$AB+CD=BC$ をどう使うかが最大の問題です.$AB$ と $CD$ は一見関係のない辺なので,そのままこの等式を使おうとするのは厳しそうです.どのように... 2021.05.08 Uncategorized
Uncategorized 黒板の2つの数を消し,その差を書く遊び|思考力を鍛える数学 $2$ つの整数 $a,b$ の差とは,$|a-b|$ のことだと考えてください.つまり,操作は $2$ つの整数を消し,新たにひとつの非負整数をつけたすという行為になります.操作を行うごとに黒板に書かれた数は一つ減るので,この操作を $... 2021.05.08 Uncategorized
Uncategorized 複2次式の因数分解|思考力を鍛える数学 この記事では,因数分解はすべて有理数の範囲で考えます. 次数がすべて偶数であるような多項式を複2次式といいます. 複2次式の例 ・$x^4+1$ ・$3x^4-2x^2+4$ ・$x^6+3x^2+2$ ・$x^2y^4+y^2+1$ この... 2021.05.08 Uncategorized
Uncategorized 3対3の対抗戦の勝敗|思考力を鍛える数学 $3$ 対 $3$ の総当たり戦とは,どの生徒も他校の $3$ 人の生徒と戦ったということです.したがって,合計 $9$ 試合行われたことになります.さらに引き分けがないので,どの試合も一方の生徒が勝ち,他方の生徒が負けたことになります.... 2021.05.08 Uncategorized
Uncategorized |思考力を鍛える数学 正の整数の組 $(x,y)$ であって,$\frac{x^2+y}{y^2-x}$ と $\frac{y^2+x}{x^2-y}$ がともに整数になるようなものをすべて見つける問題です.標準的な大学入試レベルの問題です. たとえば,$(x... 2021.05.08 Uncategorized
Uncategorized 和と二乗和が定数の最大化問題|思考力を鍛える数学 非常にシンプルな最大化問題です.$4$ 変数 $x,y,z,w$ には $2$ つの等式制約があります.つまり,和と二乗和が一定の値であるという制約です.この $2$ つの制約のもとで $4$ 変数が動くとき,$x$ が最大となるようなと... 2021.05.08 Uncategorized