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相加相乗平均の不等式の拡張である，重みつき相加相乗平均の不等式とその証明を紹介します． 重みつき相加相乗平均の不等式とは，相加相乗平均の不等式を一般化したつぎの不等式のことです． 重みつき相加相乗平均の不等式：　$\alpha_1,...,...

連立方程式の問題です．問題文を方程式で表すことは難しくありません．いかにしてこの見慣れない連立方程式に取り組むかが今回の課題です．連立方程式が巡回していることがひとつの鍵となります． ヒント・考え方 まず，与えられた条件を方程式で表してみ...

不等式の証明問題です．左辺はべき乗の形をしています．右辺は階乗の形をしています． 例えば，$n=1$のときは， $$1^1 \ge 1!$$ となり明らかに成り立ちます． $n=2$のときは， $$2^3 \ge 3!$$ すなわち $$...

正直者と嘘つきの論理の問題です．この手の問題 (正直者と嘘つきが登場する問題) を初めて見た人にとっては少し手強いかもしれません．この手の問題はいろいろなバリエーションがあって面白いものが多いので，興味のある人はぜひ調べてみてほしいです．...

左辺は$9$個の有理数の和になっています．$n!$は $$n!=n\times(n-1)\times \cdots \times 2\times 1$$ を意味する記号です．したがって，左辺は普通に計算できるので頑張れば不等式が成り立つこ...

約数，倍数，最大公約数，最小公倍数などの整数論の基本的な用語について解説します． $a,b$ を整数とします．ある整数 $q$ を用いて $$a=qb$$ とかけるとき，$a$ は $b$ で割り切れる (あるいは $b$ は $a$ を割...

$x,y,z$ は正とは限らないことに注意してください． \begin{array}{ccc} \begin{cases} x^2 \ge 1& \\ y^2 \ge 1& \\ z^2 \ge 1 \end{cases}...

数列がある不等式を満たすとき，その数列が単調に減少することを示す問題です． $\{a_{n}\}$ が等差数列であることに注意してください．等差数列が単調減少数列であるとはどういうことでしょうか． 解法 $1$ $\{a_n\}$ の公差...

整式に関する問題です．$f(x)$ はすべての係数が整数であるような多項式です. $a_1,a_2,...,a_n$ はすべて異なる整数で， $$f(a_1)=a_2,　f(a_2)=a_3,\cdots,f(a_{n-1})=a_n,　...

今回は和の計算の工夫についての問題です．見かけはかなりゴツい式です．この式を $n=1,2,3,...$ と順番に足していこうとすると，何日かかるかわかりません．そこで，どうにかして足し方を工夫してきれいに解く方法がないか考えましょう． ...