Uncategorized その他|思考力を鍛える数学
問 下図のあみだくじを完成させるためには，最低何本の横線を引かなければならないか．
2018/4/12 その他 ★☆☆☆☆
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Uncategorized 三角関数の積と和の公式|思考力を鍛える数学
三角関数の積和・和積公式とその導出を紹介し，最後に積和公式の図形的な説明の一例を解説します．
三角関数の積和・和積公式は，三角関数の積を和に，和を積に変換する公式です．これらの公式は三角関数の加法定理から導かれます． 加法定理や，倍角，半角...
Uncategorized 重複組合せの考え方|思考力を鍛える数学
異なる $n$ 個のものから異なる $r$ 個を取り出す組合せの総数は ${}_n \mathrm{C}_r$ でした．(→組合せの基礎) では，異なる $n$ 個のものから，重複を許して $r$ 個取り出す組合せの総数はいくつになるでしょ...
Uncategorized 合同式の基礎・基本|思考力を鍛える数学
整数問題 (特に剰余に関わる問題) で絶大な威力を発揮する合同式の基礎事項について解説します．
整数問題の中でも特によく出題されるのが剰余に関わる問題です．剰余とは余りのことで，たとえば，『$2^{40}$ を $7$ で割った余りを求めよ...
Uncategorized ある正の整数についての会話|思考力を鍛える数学
整数と，論理を複合した問題です．$A,B,C,D$ の発言のうち，ひとりだけ誤りの主張をしているのが厄介です．
ヒント
誰が誤りの主張をしているのかはすぐにわからなくても，少なくとも誰が本当の主張をしているのかはすぐにわかります．その主張...
Uncategorized 整数係数多項式の一般論|思考力を鍛える数学
$f(x)$ は整数係数多項式なので，すべての整数 $m$ に対して，$f(m)$ は整数になります．つまり，$f(m+f(m))$ も，$f(m)$ も整数です．一般に，整数 $a$ が，整数 $b$ の倍数であるとは，ある整数 $k$...
Uncategorized 橋で結ばれた島に関する調査|思考力を鍛える数学
高校数学ではなじみのないグラフの問題です．見た目のいかつさほど難問ではなく，特にグラフ理論の知識は必要ないので，はじめてこのような問題を見た人もチャレンジする価値はあると思います. ひとつ目の条件に関して，島にかかっている橋の本数としてあ...
Uncategorized 有理数の平方和|思考力を鍛える数学
$x,y$ は有理数であることに注意してください．$x^2+y^2=3$ を満たす整数 $x,y$ は存在しないことはすぐにわかります．では，有理数の場合はどうでしょうか，という問題です．問題文が「〜は存在しないことを示せ」と否定の形にな...
Uncategorized 和が一定，積の最大値はいくつ?|思考力を鍛える数学
柔軟な発想が求められる問題です．何から手をつけていいのかわからないかもしれませんが，まずはいろいろ実験してみましょう．
与えられた問題より簡単そうな問題を考えたり，極端な例を考えてみることは重要です．
単純化してみる
与えられた問題が難し...
Uncategorized 取り出した赤球が白球より常に多い確率|思考力を鍛える数学
問題文の補足説明をすると，$a+b$個の球が入った袋から，一つずつ球を取り出していくのですが，取り出す作業の最中はいつでも，取り出した赤い球の数の合計が白い球の数の合計より多くなければいけません．例を見てみましょう．
具体的な例
例えば，...