ホーム >> 組合せ >> 正十一角形の $3$ 彩色
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問題の説明

正十一角形の頂点を $3$ 色の色 に彩色します.ただし,赤色の頂点の個数は奇数個青色の頂点の個数も奇数個緑色の頂点の個数も奇数個となるようにします.たとえば,下図はそのような彩色の例です.
正十一角形の3彩色
このとき,図のように,$3$ 頂点に割り当てられた色が相異なるような二等辺三角形が必ず存在します.この彩色の例では条件を満たすような二等辺三角形は他にもありますが,少なくともひとつはあります. このことを数学的に証明するのが本問題です.つまり,条件を満たすようなどのような彩色に対しても,$3$ 頂点に割り当てられた色が相異なるような二等辺三角形が少なくともひとつは存在することを示す問題です.

このように,彩色+存在(または不存在の)証明は組合せ数学の問題ではありがちですが,その中でもやや難しめの問題だと思います.(ただし必要な知識はほとんどありません) いろいろな観点から考察する必要があります.

ヒント

実はこの主張は,正七角形でも同様に成り立ちます.
正七角形の3彩色
本問題の前に正七角形の場合で考察すると,何か手がかりが得られるかもしれません.


解答は数日後に載せます.