問題の説明

$2$ つ以上の連続する自然数の和とは，たとえば，$1+2+3$ や $3+4+5+6+7$ などのことです．(つまり $6,25 \in X$) より形式的に言えば，自然数 $m,n\ (m\ge 1,n\ge 2)$ を用いて， $$m+(m+1)+(m+2)+\cdots +(m+n-1)$$ とかける自然数全体のことを指します．

一方，$2$ のべき乗数とは，$2^0$ や $2^4$ などのことです．より形式的に言えば，$0$ 以上の整数 $m$ を用いて， $$2^{m}$$ とかける自然数全体のことです．そして，$Y$ は $2$ のべき乗数でない数全体です．

一見異なる $X$ と $Y$ が実は集合として一致することを示すのが問題です．

ヒント・考え方

一般に，$2$ つの集合 $X,Y$ が一致することを示すには，$X\subseteq Y$ と $Y\subseteq X$ をそれぞれ示すのが常套手段です．
→集合の相等の証明
つまり，今回の場合は，『$2$ つ以上の連続する自然数の和で表される数が，$2$ のべき乗数でないこと』と『$2$ のべき乗数でない数は，必ず $2$ つ以上の連続する自然数の和で表せられること』の $2$ つを示せばよいです．

$m\ (m\ge 1)$ から連続する $n$ 個 $(n\ge 2)$ の自然数の和は， $$m+(m+1)+\cdots +(m+(n-1))=\frac{1}{2}n(2m-1+n)$$ とかけます．
一方，$2$ のべき乗数でない数は，自然数 $a,b \ (a\ge 0,b\ge 1)$ を用いて，$2^a(2b+1)$ とかけます．これらの整数方程式を考えてみてください．

解答例

(I) $X \subseteq Y$ を示します．
$2$ つ以上の連続する自然数の和で表される数が，$2$ のべき乗数でないことを背理法で示します．
$m\ (m\ge 1)$ から連続する $n\ (n\ge 2)$ 個の自然数の和は， $$m+(m+1)+\cdots +(m+(n-1))=\frac{1}{2}n(2m-1+n)$$ とかけます．$0$ 以上の整数 $k$ を用いて， $$\frac{1}{2}n(2m-1+n)=2^k$$ とかけるとして，矛盾を示します．
両辺を $2$ 倍すると， $$n(2m-1+n)=2^{k+1}$$ となります．ここで，$2m-1+n> n$ かつ，$2m-1+n$ と $n$ の偶奇は異なるので， $$(n,2m-1+n)=(1,2^{k+1})$$ となります．これは，$n\ge 2$ であることに矛盾します．したがって，$2$ つ以上の連続する自然数の和で表される数が，$2$ のべき乗数でないことが示せました．

(II) $Y \subseteq X$ を示します．
$2$ のべき乗数でない数は，必ず $2$ つ以上の連続する自然数の和で表せられることを示します．
$2$ のべき乗数でない数は，自然数 $a,b \ (a\ge 0,b\ge 1)$ を用いて，$2^a(2b+1)$ とかけます．これが．$m\ (m\ge 1)$ から連続する $n\ (n\ge 2)$ 個の自然数の和でかけるとすると， $$2^a(2b+1)=\frac{1}{2}n(2m-1+n) \cdots ①$$ すなわち， $$2^{a+1}(2b+1)=n(2m-1+n)$$ を得ます．前の議論と同様に．$2m-1+n> n$ かつ，$2m-1+n$ と $n$ の偶奇は異なることに注意すると，
(i) $2^{a+1} > 2b+1$ のとき
$$(n,2m-1+n)=(2b+1,2^{a+1})$$ したがって， $$(n,m)=(2b+1,2^a-b)$$ を得ます．
(ii) $2^{a+1} < 2b+1$ のとき
$$(n,2m-1+n)=(2^{a+1},2b+1)$$ したがって， $$(n,m)=(2^{a+1},b+1-2^a)$$ を得ます．

(i),(ii) いずれの場合も，式 ①が成り立つような．自然数 $m,n$ が確かに存在します．したがって，$2$ のべき乗数でない数は，必ず $2$ つ以上の連続する自然数の和で表せられることが示せました．

以上，(I),(II) より，$X=Y$ が示されました．