ホーム >> 整数 >> $x^{2n}+y^{2n}$ が $x+y$ の倍数となる条件
hide or visible

問題の説明

$x,y$ は互いに素 (つまり最大公約数が $1$) であるような自然数の組です.このとき,$x^{2n}+y^{2n}$ が $x+y$ の倍数となるときはいつか,というのが問題です.$x^{2n}+y^{2n}$ という式をみて何か連想することはないでしょうか.

ヒント

$x^{2n}-y^{2n}$ は必ず $x+y$ の倍数となります.これが最大のヒントです.

解答例

仮定より,ある自然数 $k$ を用いて, $$x^{2n}+y^{2n}=k(x+y) \cdots (1)$$ とおけます.また,因数分解の公式 $$x^{2n}-y^{2n}=(x+y)(x^{2n-1}-x^{2n-2}y+\cdots -xy^{2n-2}+y^{2n-1})$$ より,ある自然数 $l$ を用いて, $$x^{2n}-y^{2n}=l(x+y) \cdots (2)$$ とおけます.($1$),($2$) より, $$2x^{2n}=(k+l)(x+y) \cdots (3)$$ $$2y^{2n}=(k-l)(x+y) \cdots (4)$$ を得ます.いま,$x,y$ は互いに素だったので,$x^{2n},y^{2n}$ も互いに素です.したがって,$2x^{2n},2y^{2n}$ の最大公約数は $2$ です.一方,($3$),($4$) より,$x+y$ は $2x^{2n},2y^{2n}$ の公約数です.したがって,$x+y$ は $2$ の約数です.よって,$(x,y)=(1,1)$ となります.