ホーム >> 代数 >> 分数和の不等式の証明
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問題の説明

不等式の証明問題です.どんな自然数 $n$ をとってきても $\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^3}$ が $\frac{5}{4}$ より小さいことを示してください.

ヒント

左辺は $n$ に関して単調に増加する級数で,右辺は定数なので,数学的帰納法は使えなさそうです.

不等式 $$\frac{1}{k^3}<\frac{1}{(k-1)k(k+1)}$$ を利用する方法や,積分を利用する方法などがあります.

解答例1

$n=1$ のとき,$1<\frac{5}{4}$ なので,与式は成立します.
$n \ge 2$ とします.
$$S_n=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^3}$$ とおきます.
任意の正整数 $k$ に対して,$k^3 > (k-1)k(k+1)$ なので, $$\frac{1}{k^3}<\frac{1}{(k-1)k(k+1)}$$ が成り立ちます.また, $$\frac{1}{(k-1)k(k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(k-1)k}-\frac{1}{k(k+1)}\right)$$ であることに注意すると, $$S_n=1+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k^3}< 1+\sum_{k=2}^n \frac{1}{(k-1)k(k+1)}$$ $$=1+\frac{1}{2}\sum_{k=2}^n \left(\frac{1}{(k-1)k}-\frac{1}{k(k+1)}\right)$$ $$=1+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n(n+1)}\right)$$ $$=\frac{5}{4}-\frac{1}{2n(n+1)}<\frac{5}{4}$$ 以上より, $$\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^3} <\frac{5}{4}$$ が示せました.

解答例2

積分を用いて証明することもできます.ただし,安直にやると失敗するので少しだけ工夫が必要です.まず,$y=\frac{1}{x^3}$ のグラフを考えます.(下図は単なるイメージ図で,全く正確ではないので気をつけて下さい)
積分評価
ここで,長方形たちの面積の和は $S_n$ です.したがって,$y=\frac{1}{x^3}$ 以下 $x$ 軸以上の部分の面積と,この長方形たちの面積の和を比較すれば,$S_n$ を評価することができます.

以下,失敗例と成功例をそれぞれ紹介します.

失敗例

下図の長方形の面積の和と,$x$ 軸と $x=1,x=n,y=\frac{1}{x^3}$ で囲まれた面積を比較すると,
積分評価
$$S_n=1+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k^3} < 1+\int_{1}^n \frac{1}{x^3} dx$$ $$= 1+\left[-\frac{x^{-2}}{2}\right]_1^n=\frac{3}{2}-\frac{1}{2n^2}$$ これより, $$S_n< \frac{3}{2}=\frac{6}{4}$$ が得られます.しかし,$S_n <\frac{5}{4}$ は示せません.評価が甘かったのです.

成功例

積分する範囲を $[1,n]$ から $[2,n]$ にかえるとうまくいきます.
$n=1,2$ のとき,与式は成立するので,$n \ge 3$ と仮定します.このとき,下図の長方形の面積の和と,$x$ 軸と $x=2,x=n,y=\frac{1}{x^3}$ で囲まれた面積を比較すると,
積分評価
$$S_n=1+\frac{1}{2^3}+\sum_{k=3}^n \frac{1}{k^3} < 1+\frac{1}{2^3}+\int_2^n \frac{1}{x^3} dx$$ $$=1+\frac{1}{8}+\left[-\frac{x^{-2}}{2}\right]_2^n$$ $$=1+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{2n^2}$$ $$=\frac{5}{4}-\frac{1}{2n^2}<\frac{5}{4}$$

積分する範囲を $[3,n]$ や $[4,n]$ に縮めていくと,$\frac{5}{4}$ よりよい評価ができます.(たとえば,$[3,n]$ の範囲で評価すると,$S_n <1+\frac{47}{216}$ が得られます)