ホーム >> 整数 >> ある等式を満たす素数の不存在証明
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ヒント・考え方

たとえば,$(a,b)=(1,1)$ のとき,(右辺)$=18$ となるので,$p=9$ となり,これは素数ではありません.$(a,b)=(2,0)$ のとき,(右辺)$=32$ となるので,$p=16$ となり,これは素数ではありません.

どのような整数 $a,b$ を選んだとしても,$\frac{a^4+b^4+(a+b)^4}{2}$ が素数にならないことを示せばよいです.素数にならないということは,$1$ または合成数になるということです.したがって,式変形によって合成数をつくろうとする方針が素直です.右辺を因数分解できないか考えてみましょう.

解説

$$a^4+b^4+(a+b)^4=2(a^4+b^4+2a^3b+2ab^3+3a^2b^2)$$ $$=2\{(a^2+b^2)^2+ab(a^2+b^2)+a^2b^2\}$$ $$=2(a^2+b^2+ab)^2$$ したがって,もとの等式は $$p=(a^2+b^2+ab)^2$$ となります.$a,b$ は整数なので,$(a^2+b^2+ab)^2$ は平方数で,素数にはなりえません.したがって,与えられた等式を満たす素数 $p$ は存在しません.