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問題の説明

直角三角形 $ABC$ からいろいろ線をひいてできる点 $D$ が,ある三角形の内心になっていることを証明する問題です.三角形の各頂角の二等分線は一点で交わり,その交点を三角形の内心といいます.問に従って図を描くと,たとえば下のようになります.
直角三角形と内心
以下,$AB=c,AC=b,BC=a$ とおいて議論します.(三平方の定理より,$b^2+c^2=a^2$ が成り立つことに注意してください)

いろいろな初等幾何学の知識をフル活用すると思います.

ヒント

当然いろいろなアプローチが考えられるので,そのうちのひとつを紹介します.
内心とは,三角形の各頂角の二等分線の交点でした.この $3$ 直線は一点で交わることはすでにみなさん知っているでしょう.したがって,そのうちの $2$ 直線の交点が自動的に内心となります.いま,点 $D$ はすでに $\angle A$ の二等分線上にあります.このことから,点 $D$ が $△ABF$ の内心であることを示すには,この点が $\angle ABF$ の二等分線上にあることを示せば十分であることがわかります.このように考えると 角の二等分線定理の逆が使えそうという発想を得ます.

角の二等分線定理の逆: $△ABC$ と辺 $BC$ 上の点 $D$ について,$AB:AC=BD:DC$ が成り立つならば,線分 $AD$ は $\angle BAC$ の二等分線である.

なぜなら,線分の長さをいろいろ計算して,$CF,BF$ の長さを $a,b,c$ 等で表すことに成功すれば,$AB:BF,AC:CF$ を $a,b,c$ 等を用いて表せます.そしてもし, $AB:BF=AC:CF$ が言えたならば,角の二等分線定理の逆より,点 $D$ が $\angle ABF$ の二等分線上にあることが言えます.したがって,点 $D$ が内心だとわかります.

解説

ほしい長さをゴリゴリ全部求めて解いてみます.
上のヒントでみたように,$\frac{CF}{AC}=\frac{BF}{AB}$ が示せれば,角の二等分線定理の逆より,$D$ が $△ABF$ の内心であることがわかります.したがって,まだ長さが求まっていない $CF,BF$ を求めようという単純な発想で解きます.

ここからは初等幾何学の知識をフル活用して,どんどん長さを求めていきます.
まず,$△ABC$ における角の二等分線定理より,$BD=\frac{ac}{b+c},CD=\frac{ab}{b+c}$ です.

つぎに,点 $B$ と $△ADE$ の外接円に関して,方べきの定理より, $$BD^2=AB\times BE$$ すなわち,$\frac{a^2c^2}{(b+c)^2}=c\times BE$ より,$BE=\frac{a^2c}{(b+c)^2}$ となります.したがって,$AE=AB-BE=c-\frac{a^2c}{(b+c)^2}=\frac{2bc^2}{(b+c)^2}$ です.

さらに,$△ABC$ と線分 $EF$ に関して,メネラウスの定理より, $$\frac{CF}{AF}\times \frac{DB}{CD}\times \frac{EA}{BE}=1$$ すなわち, $$\frac{CF}{AF}\times \frac{c}{b}\times \frac{2bc}{a^2}=1$$ これと,$AF=AC+CF=b+CF$ を合わせると,$CF=\frac{a^2b}{c^2-b^2}=\frac{(b^2+c^2)b}{c^2-b^2},AF=b+CF=\frac{2bc^2}{c^2-b^2}$ であることがわかります.

さらに,$△ABF$ に関して三平方の定理より, $$BF^2=AB^2+AF^2=c^2+\left(\frac{2bc^2}{c^2-b^2}\right)^2=\frac{c^2(b^2+c^2)^2}{(c^2-b^2)^2}$$ より,$BF=\frac{c(b^2+c^2)}{c^2-b^2}$ です.

これで,$CF,BF$ の長さが得られました.

最後に,$\frac{CF}{AC},\frac{BF}{AB}$ をそれぞれ計算すると, $$\frac{CF}{AC}=\frac{(b^2+c^2)b}{b(c^2-b^2)}=\frac{b^2+c^2}{c^2-b^2}$$ $$\frac{BF}{AB}=\frac{c(b^2+c^2)}{c(c^2-b^2)}=\frac{b^2+c^2}{c^2-b^2}$$ となり,$\frac{CF}{AC}=\frac{BF}{AB}$ が言えました.よって,角の二等分線定理の逆より,$BC$ は $\angle ABF$ の二等分線です.以上より,点 $D$ は $△ABF$ の内心であることがわかります.


2018年センター試験の一般化 です.