直角三角形 $ABC$ からいろいろ線をひいてできる点 $D$ が，ある三角形の内心になっていることを証明する問題です．三角形の各頂角の二等分線は一点で交わり，その交点を三角形の内心といいます．問に従って図を描くと，たとえば下のようになります．
以下，$AB=c，AC=b，BC=a$ とおいて議論します．(三平方の定理より，$b^2+c^2=a^2$ が成り立つことに注意してください)
いろいろな初等幾何学の知識をフル活用すると思います．
ヒント
当然いろいろなアプローチが考えられるので，そのうちのひとつを紹介します．
内心とは，三角形の各頂角の二等分線の交点でした．この $3$ 直線は一点で交わることはすでにみなさん知っているでしょう．したがって，そのうちの $2$ 直線の交点が自動的に内心となります．いま，点 $D$ はすでに $\angle A$ の二等分線上にあります．このことから，点 $D$ が $△ABF$ の内心であることを示すには，この点が $\angle ABF$ の二等分線上にあることを示せば十分であることがわかります．このように考えると 角の二等分線定理の逆が使えそうという発想を得ます．
角の二等分線定理の逆： $△ABC$ と辺 $BC$ 上の点 $D$ について，$AB:AC=BD:DC$ が成り立つならば，線分 $AD$ は $\angle BAC$ の二等分線である．
なぜなら，線分の長さをいろいろ計算して，$CF,BF$ の長さを $a,b,c$ 等で表すことに成功すれば，$AB:BF，AC:CF$ を $a,b,c$ 等を用いて表せます．そしてもし， $AB:BF=AC:CF$ が言えたならば，角の二等分線定理の逆より，点 $D$ が $\angle ABF$ の二等分線上にあることが言えます．したがって，点 $D$ が内心だとわかります．
解説
ほしい長さをゴリゴリ全部求めて解いてみます． 上のヒントでみたように，$\frac{CF}{AC}=\frac{BF}{AB}$ が示せれば，角の二等分線定理の逆より，$D$ が $△ABF$ の内心であることがわかります．したがって，まだ長さが求まっていない $CF,BF$ を求めようという単純な発想で解きます． ここからは初等幾何学の知識をフル活用して，どんどん長さを求めていきます．
まず，$△ABC$ における角の二等分線定理より，$BD=\frac{ac}{b+c}，CD=\frac{ab}{b+c}$ です．
つぎに，点 $B$ と $△ADE$ の外接円に関して，方べきの定理より， $$BD^2=AB\times BE$$ すなわち，$\frac{a^2c^2}{(b+c)^2}=c\times BE$ より，$BE=\frac{a^2c}{(b+c)^2}$ となります．したがって，$AE=AB-BE=c-\frac{a^2c}{(b+c)^2}=\frac{2bc^2}{(b+c)^2}$ です．
さらに，$△ABC$ と線分 $EF$ に関して，メネラウスの定理より， $$\frac{CF}{AF}\times \frac{DB}{CD}\times \frac{EA}{BE}=1$$ すなわち， $$\frac{CF}{AF}\times \frac{c}{b}\times \frac{2bc}{a^2}=1$$ これと，$AF=AC+CF=b+CF$ を合わせると，$CF=\frac{a^2b}{c^2-b^2}=\frac{(b^2+c^2)b}{c^2-b^2}，AF=b+CF=\frac{2bc^2}{c^2-b^2}$ であることがわかります．
さらに，$△ABF$ に関して三平方の定理より， $$BF^2=AB^2+AF^2=c^2+\left(\frac{2bc^2}{c^2-b^2}\right)^2=\frac{c^2(b^2+c^2)^2}{(c^2-b^2)^2}$$ より，$BF=\frac{c(b^2+c^2)}{c^2-b^2}$ です．
これで，$CF,BF$ の長さが得られました．
最後に，$\frac{CF}{AC}，\frac{BF}{AB}$ をそれぞれ計算すると， $$\frac{CF}{AC}=\frac{(b^2+c^2)b}{b(c^2-b^2)}=\frac{b^2+c^2}{c^2-b^2}$$ $$\frac{BF}{AB}=\frac{c(b^2+c^2)}{c(c^2-b^2)}=\frac{b^2+c^2}{c^2-b^2}$$ となり，$\frac{CF}{AC}=\frac{BF}{AB}$ が言えました．よって，角の二等分線定理の逆より，$BC$ は $\angle ABF$ の二等分線です．以上より，点 $D$ は $△ABF$ の内心であることがわかります．
2018年センター試験の一般化 です．
