ホーム >> 整数 >> ある正の整数についての会話
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問題の説明

整数と,論理を複合した問題です.$A,B,C,D$ の発言のうち,ひとりだけ誤りの主張をしているのが厄介です.

ヒント

誰が誤りの主張をしているのかはすぐにわからなくても,少なくとも誰が本当の主張をしているのかはすぐにわかります.その主張から $n$ を絞り込むことができます.

$A,B,C$ の発言と,$n \le 500$ に注目してみてください.

解法

まず,$A,B,C$ の発言がすべて正しいとすると,$n$ は少なくとも $2^2 \cdot5^2\cdot7=700$ を因数にもつことになります.したがって,$n \ge 700$ となりますが,これは $n$ が $500$ 以下であることに矛盾します.したがって,$A,B,C$ のうちの $1$ 人の発言は誤りであることがわかります.このことから必然的に $D$ の発言は正しいです.そこで,$D$ の発言から $n$ を絞り込んでみましょう.

$D$ の発言より,$n$ は $$(4,5),(2,2,5),(1,4,5) ・・・(*)$$ の並び替えのいずれかであることがわかります.

ここで,$B$ の発言に注目してみましょう.$B$ の発言が正しいとすると,$n$ は $25$ の倍数ということになります.$25$ の倍数の下 $2$ 桁は $00,25,50,75$ のいずれかです.したがって,$(*)$ より $n$ としてありうるのは $225$ のみですが,これは $A,C$ いずれの主張も満たしません.したがって,$B$ の発言は誤りです.よって,$A,C,D$ の発言が正しいということになります.$A$ の発言より,$n$ は $4$ の倍数です.$4$ の倍数は下 $2$ 桁が $4$ の倍数です.そのようなものは $(*)$ の中では,$252$ しかありません.

$252$ は確かに $500$ 以下の整数で,$A,C,D$ の発言を満たし,$B$ の発言を満たしません.よって $n=252$ が答えとなります.


できる限り論理的に解くことにより,不必要な手間を省くことができます.