整数と，論理を複合した問題です．$A,B,C,D$ の発言のうち，ひとりだけ誤りの主張をしているのが厄介です．
ヒント
誰が誤りの主張をしているのかはすぐにわからなくても，少なくとも誰が本当の主張をしているのかはすぐにわかります．その主張から $n$ を絞り込むことができます．
$A,B,C$ の発言と，$n \le 500$ に注目してみてください．
解法
まず，$A,B,C$ の発言がすべて正しいとすると，$n$ は少なくとも $2^2 \cdot5^2\cdot7=700$ を因数にもつことになります．したがって，$n \ge 700$ となりますが，これは $n$ が $500$ 以下であることに矛盾します．したがって，$A,B,C$ のうちの $1$ 人の発言は誤りであることがわかります．このことから必然的に $D$ の発言は正しいです．そこで，$D$ の発言から $n$ を絞り込んでみましょう． $D$ の発言より，$n$ は $$(4,5)，(2,2,5)，(1,4,5) ・・・(*)$$ の並び替えのいずれかであることがわかります．
ここで，$B$ の発言に注目してみましょう．$B$ の発言が正しいとすると，$n$ は $25$ の倍数ということになります．$25$ の倍数の下 $2$ 桁は $00,25,50,75$ のいずれかです．したがって，$(*)$ より $n$ としてありうるのは $225$ のみですが，これは $A,C$ いずれの主張も満たしません．したがって，$B$ の発言は誤りです．よって，$A,C,D$ の発言が正しいということになります．$A$ の発言より，$n$ は $4$ の倍数です．$4$ の倍数は下 $2$ 桁が $4$ の倍数です．そのようなものは $(*)$ の中では，$252$ しかありません．
$252$ は確かに $500$ 以下の整数で，$A,C,D$ の発言を満たし，$B$ の発言を満たしません．よって $n=252$ が答えとなります．
できる限り論理的に解くことにより，不必要な手間を省くことができます．
