円と弦の長さに関する問題

問題の説明

円と弦の長さに関する問題です．平面幾何学に関する総合的な力が求められる問題です．基本的な定理等をうまく組み合わせて解かなければなりません．

さて，$O$ は円の中心で $AO=10$ なので，円の半径は $10$ です．また，$PQ$ は円の直径ですから，なんだか $OD$ の長さが求められそうです．以下順次，いろいろな線分の長さを求めていくことで最終的に $CE$ の長さを求めていきます．

$OD$ の長さ

もっとも簡単にもとめられるのはおそらく $PD$ の長さでしょう．方べきの定理を使えば， $$PD\cdot DQ=AD\cdot DB$$ となります．$AD=12,BD=3$ とわかっているので，これより $PD=2$ とわかります．したがって,$OD=OP-PQ=8$ です．

$AE$ の長さ

$OD=OE=8$ なので，$O$ は線分 $DE$ の中点です．中線定理から $$AD^2+AE^2=2(AO^2+DO^2)$$ なので，これより，$AE$ の長さが求められます．

$CE$ の長さ

あとは再び方べきの定理より， $$AE\cdot CE=PE\cdot QE$$ が成り立つので，$CE$ の長さが求められます．

答え

$CE=\frac{9\sqrt{46}}{23}$ が答えです．

---