ホーム >> 幾何 >> 円と弦の長さに関する問題
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問題の説明

円と弦の長さに関する問題です.平面幾何学に関する総合的な力が求められる問題です.基本的な定理等をうまく組み合わせて解かなければなりません.

さて,$O$ は円の中心で $AO=10$ なので,円の半径は $10$ です.また,$PQ$ は円の直径ですから,なんだか $OD$ の長さが求められそうです.以下順次,いろいろな線分の長さを求めていくことで最終的に $CE$ の長さを求めていきます.

$OD$ の長さ

もっとも簡単にもとめられるのはおそらく $PD$ の長さでしょう.方べきの定理を使えば, $$PD\cdot DQ=AD\cdot DB$$ となります.$AD=12,BD=3$ とわかっているので,これより $PD=2$ とわかります.したがって,$OD=OP-PQ=8$ です.

$AE$ の長さ

$OD=OE=8$ なので,$O$ は線分 $DE$ の中点です.中線定理から $$AD^2+AE^2=2(AO^2+DO^2)$$ なので,これより,$AE$ の長さが求められます.

$CE$ の長さ

あとは再び方べきの定理より, $$AE\cdot CE=PE\cdot QE$$ が成り立つので,$CE$ の長さが求められます.

答え

$CE=\frac{9\sqrt{46}}{23}$ が答えです.